置换群

置换群是某些对称群的子群 \(S_n\) . Sage有一个Python类 PermutationGroup ,因此您可以直接与这些组一起工作:

sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)(4,5)'])
sage: G
Permutation Group with generators [(1,2,3)(4,5)]
sage: g = G.gens()[0]; g
(1,2,3)(4,5)
sage: g*g
(1,3,2)
sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)'])
sage: g = G.gens()[0]; g
(1,2,3)
sage: g.order()
3

例如,魔方组(的置换子组 \(S_{{48}}\) ,其中魔方体的非中心面被标记 \(1,2,...,48\) 以某种固定的方式),您可以使用gapsage接口,如下所示。

sage: cube = "cubegp := Group(
( 1, 3, 8, 6)( 2, 5, 7, 4)( 9,33,25,17)(10,34,26,18)(11,35,27,19),
( 9,11,16,14)(10,13,15,12)( 1,17,41,40)( 4,20,44,37)( 6,22,46,35),
(17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)( 8,30,41,11),
(25,27,32,30)(26,29,31,28)( 3,38,43,19)( 5,36,45,21)( 8,33,48,24),
(33,35,40,38)(34,37,39,36)( 3, 9,46,32)( 2,12,47,29)( 1,14,48,27),
(41,43,48,46)(42,45,47,44)(14,22,30,38)(15,23,31,39)(16,24,32,40) )"
sage: gap(cube)
'permutation group with 6 generators'
sage: gap("Size(cubegp)")
43252003274489856000'

您可以选择另一种方法:

  • 创建文件 cubegroup.py 包含以下行:

    cube = "cubegp := Group(
    ( 1, 3, 8, 6)( 2, 5, 7, 4)( 9,33,25,17)(10,34,26,18)(11,35,27,19),
    ( 9,11,16,14)(10,13,15,12)( 1,17,41,40)( 4,20,44,37)( 6,22,46,35),
    (17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)( 8,30,41,11),
    (25,27,32,30)(26,29,31,28)( 3,38,43,19)( 5,36,45,21)( 8,33,48,24),
    (33,35,40,38)(34,37,39,36)( 3, 9,46,32)( 2,12,47,29)( 1,14,48,27),
    (41,43,48,46)(42,45,47,44)(14,22,30,38)(15,23,31,39)(16,24,32,40) )"
    

    然后将文件放入子目录中 $SAGE_ROOT/local/lib/python2.4/site-packages/sage 你的Sage主目录。最后,阅读(即。, import )它变成了Sage:

    sage: import sage.cubegroup
    sage: sage.cubegroup.cube
    'cubegp := Group(( 1, 3, 8, 6)( 2, 5, 7, 4)( 9,33,25,17)(10,34,26,18)
    (11,35,27,19),( 9,11,16,14)(10,13,15,12)( 1,17,41,40)( 4,20,44,37)
    ( 6,22,46,35),(17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)
    ( 8,30,41,11),(25,27,32,30)(26,29,31,28)( 3,38,43,19)( 5,36,45,21)
    ( 8,33,48,24),(33,35,40,38)(34,37,39,36)( 3, 9,46,32)( 2,12,47,29)
    ( 1,14,48,27),(41,43,48,46)(42,45,47,44)(14,22,30,38)(15,23,31,39)
    (16,24,32,40) )'
    sage: gap(sage.cubegroup.cube)
    'permutation group with 6 generators'
    sage: gap("Size(cubegp)")
    '43252003274489856000'
    

    (您将在Sage输出中使用行换行,而不是上面的回车。)

  • 使用 CubeGroup 班级:

    sage: rubik = CubeGroup()
    sage: rubik
    The Rubik's cube group with generators R,L,F,B,U,D in SymmetricGroup(48).
    sage: rubik.order()
    43252003274489856000
    

    (1) 已经实现了经典组(如 \(GU(3,\GF{{5}})\) )有限域上的矩阵群和用户定义的生成元。

    (2) 也实现了有限和无限(但有限生成)交换群。

共轭类

您可以使用“本机”计算有限群的共轭类:

sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)', '(1,2)(3,4)', '(1,7)'])
sage: CG = G.conjugacy_classes_representatives()
sage: gamma = CG[2]
sage: CG; gamma
[(), (4,7), (3,4,7), (2,3)(4,7), (2,3,4,7), (1,2)(3,4,7), (1,2,3,4,7)]
(3,4,7)

您可以使用Sage GAP接口:

sage: gap.eval("G := Group((1,2)(3,4),(1,2,3))")
'Group([ (1,2)(3,4), (1,2,3) ])'
sage: gap.eval("CG := ConjugacyClasses(G)")
'[ ()^G, (2,3,4)^G, (2,4,3)^G, (1,2)(3,4)^G ]'
sage: gap.eval("gamma := CG[3]")
'(2,4,3)^G'
sage: gap.eval("g := Representative(gamma)")
'(2,4,3)'

或者,这里有另一种(更“ Python 式”的)方法来完成这种类型的计算:

sage: G = gap.Group('[(1,2,3), (1,2)(3,4), (1,7)]')
sage: CG = G.ConjugacyClasses()
sage: gamma = CG[2]
sage: g = gamma.Representative()
sage: CG; gamma; g
[ ConjugacyClass( SymmetricGroup( [ 1, 2, 3, 4, 7 ] ), () ),
  ConjugacyClass( SymmetricGroup( [ 1, 2, 3, 4, 7 ] ), (4,7) ),
  ConjugacyClass( SymmetricGroup( [ 1, 2, 3, 4, 7 ] ), (3,4,7) ),
  ConjugacyClass( SymmetricGroup( [ 1, 2, 3, 4, 7 ] ), (2,3)(4,7) ),
  ConjugacyClass( SymmetricGroup( [ 1, 2, 3, 4, 7 ] ), (2,3,4,7) ),
  ConjugacyClass( SymmetricGroup( [ 1, 2, 3, 4, 7 ] ), (1,2)(3,4,7) ),
  ConjugacyClass( SymmetricGroup( [ 1, 2, 3, 4, 7 ] ), (1,2,3,4,7) ) ]
ConjugacyClass( SymmetricGroup( [ 1, 2, 3, 4, 7 ] ), (4,7) )
(4,7)

正规子群

如果你想找到一个置换群的所有正规子群 \(G\) (直到魔术师),你可以使用Sage的界面来GAP::

sage: G = AlternatingGroup( 5 )
sage: gap(G).NormalSubgroups()
[ AlternatingGroup( [ 1 .. 5 ] ), Group( () ) ]

sage: G = gap("AlternatingGroup( 5 )")
sage: G.NormalSubgroups()
[ AlternatingGroup( [ 1 .. 5 ] ), Group( () ) ]

还有一种方法,更直接地与GAP合作:

sage: print(gap.eval("G := AlternatingGroup( 5 )"))
Alt( [ 1 .. 5 ] )
sage: print(gap.eval("normal := NormalSubgroups( G )"))
[ Alt( [ 1 .. 5 ] ), Group(()) ]
sage: G = gap.new("DihedralGroup( 10 )")
sage: G.NormalSubgroups()
[ Group( [ f1, f2 ] ), Group( [ f2 ] ), Group( <identity> of ... ) ]
sage: print(gap.eval("G := SymmetricGroup( 4 )"))
Sym( [ 1 .. 4 ] )
sage: print(gap.eval("normal := NormalSubgroups( G );"))
[ Sym( [ 1 .. 4 ] ), Alt( [ 1 .. 4 ] ), Group([ (1,4)(2,3), (1,2)(3,4) ]),
      Group(()) ]

中心

在Sage中如何计算群的中心?

虽然Sage调用GAP来计算群中心, center 是“wrapped”(即Sage有一个类置换组和相关的类方法“center”),因此用户不需要使用 gap 命令。举个例子:

sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)(4,5)', '(3,4)'])
sage: G.center()
Subgroup generated by [()] of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,5)])

矩阵组的类似语法也可以:

sage: G = SL(2, GF(5) )
sage: G.center()
Subgroup with 1 generators (
[4 0]
[0 4]
) of Special Linear Group of degree 2 over Finite Field of size 5
sage: G = PSL(2, 5 )
sage: G.center()
Subgroup generated by [()] of (The projective special linear group of degree 2 over Finite Field of size 5)

注解

center 在GAP中可以任意拼写,在Sage中则不是这样。

组id数据库

函数 group_id 使用了E.A.O'Brien、B.Eick和H.U.Besche的小组类库,这是GAP的一部分。

sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)(4,5)', '(3,4)'])
sage: G.order()
120
sage: G.group_id()
[120, 34]

使用小组数据库的另一个例子: group_id

sage: gap_console()
┌───────┐   GAP 4.10.0 of 01-Nov-2018
│  GAP  │   https://www.gap-system.org
└───────┘   Architecture: x86_64-pc-linux-gnu-default64
Configuration:  gmp 6.0.0, readline
Loading the library and packages ...
Packages:   GAPDoc 1.6.2, PrimGrp 3.3.2, SmallGrp 1.3, TransGrp 2.0.4
Try '??help' for help. See also '?copyright', '?cite' and '?authors'
gap> G:=Group((4,6,5)(7,8,9),(1,7,2,4,6,9,5,3));
Group([ (4,6,5)(7,8,9), (1,7,2,4,6,9,5,3) ])
gap> StructureDescription(G);
"(C3 x C3) : GL(2,3)"

每组订单少于32份的施工指导书

作者:

  • 戴维斯·舒伯特

每一个阶数小于32的群在Sage中被实现为一个置换群。它们都可以很容易地被创造出来。我们将首先演示如何构建直接积和半直积,然后给出构建所有这些小组所需的命令。

G1G2Gn 是已在Sage中初始化的置换组。下面的命令可以用来获取它们的直接积(当然,这里省略号只是作为一种符号使用,实际上您必须在所需的乘积中显式地输入每个因子)。

sage: G = direct_product_permgroups([G1, G2, ..., Gn])

半直积运算可以看作是直积运算的推广。给两组人, HK ,它们的半直积, H ltimes_{{phi}} K ,(其中 phi : H rightarrow Aut(K) 是一个群,其基本集是 HK ,但在手术中:

\[(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1 h_2,k_1^{phi(h_2)}k_2)。\]

输出不是操作定义中明确描述的组,而是同构的置换组。在下面的例行程序中,假设 HK 已经在Sage中定义和初始化。也, phi 是一个包含两个子列表的列表,它们通过给出 H . 对于下表中的每个半直接产品,我们将向您展示如何构建 phi ,然后假设你已经读过这篇文章,并且理解如何从那里开始。

sage: G = H.semidirect_product(K, phi)

为了避免不必要的重复,我们现在将给出可以用来创建顺序循环组的命令 nC_n ,二面体群 n 信件, D_n . 为了确保读者理解命令,我们将再给出一个例子,然后它将被保留。

sage: G = CyclicPermutationGroup(n)

sage: G = DihedralGroup(n)

注意,指数表示法将用于直接乘积运算。例如, {{C_2}}^2 = C_2 times C_2 . 这张桌子是在 分组表格 ,作者:AD Thomas和GV Wood(1980年,湿婆出版社)。

秩序

组描述

命令

间隙ID

1

琐碎的群体

sage: G = SymmetricGroup(1)

[1,1]

2

C_2

sage: G = SymmetricGroup(2)

[2,1]

3

C_3

sage: G = CyclicPermutationGroup(3)

[3,1]

4

C_4

[4,1]

4

C_2 times C_2

sage: G = KleinFourGroup()

[4,2]

5

C_5

[5,1]

6

C_6

[6,2]

6

S_3 (3个字母上的对称群)

sage: G = SymmetricGroup(3)

[6,1]

7

C_7

[7,1]

8

C_8

[8,1]

8

C_4 times C_2

[8,2]

8

C_2times C_2times C_2

[8,5]

8

D_4

sage: G = DihedralGroup(4)

[8,3]

8

四元数群(Q)

sage: G = QuaternionGroup()

[8,4]

9

C_9

[9,1]

9

C_3 times C_3

[9,2]

10

C_{10}

[10,2]

10

D_5

[10,1]

11

C_{11}

[11,1]

12

C_{12}

[12,2]

12

C_6 times C_2

[12,5]

12

D_6

[12,4]

12

A_4 (4个字母交替分组)

sage: G = AlternatingGroup(4)

[12,3]

12

Q_6 (12阶双环群)

sage: G = DiCyclicGroup(3)

[12,1]

13

C_{13}

[13,1]

14

C_{14}

[14,2]

14

D_{7}

[14,1]

15

C_{15}

[15,1]

16

C_{16}

[16,1]

16

C_8 times C_2

[16,5]

16

C_4 times C_4

[16,2]

16

C_4times C_2times C_2

[16,10号]

16

{C_2}^4

[16、14日]

16

D_4 times C_2

[16、11日]

16

Q times C_2

[16、12日]

16

D_8

[16,7]

16

Q_{{8}} (16阶双环群)

sage: G = DiCyclicGroup(4)

[16,9]

16

半二面体序群 2^4

sage: G = SemidihedralGroup(4)

[16,8]

16

分裂亚循环序群 2^4

sage: G = SplitMetacyclicGroup(2,4)

[16,6]

16

(C_4 times C_2) rtimes_{phi} C_2

sage: C2 = SymmetricGroup(2); C4 = CyclicPermutationGroup(4)
sage: A = direct_product_permgroups([C2,C4])
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(A,A,[A.gens()[0],A.gens()[0]^2*A.gens()[1]])
sage: phi = [[(1,2)],[alpha]]

[16、13日]

16

(C_4 times C_2) rtimes_{phi} C_2

sage: C2 = SymmetricGroup(2); C4 = CyclicPermutationGroup(4)
sage: A = direct_product_permgroups([C2,C4])
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(A,A,[A.gens()[0]^3*A.gens()[1],A.gens()[1]])
sage: phi = [[(1,2)],[alpha]]

[16,3]

16

C_4 rtimes_{phi} C_4

sage: C4 = CyclicPermutationGroup(4)
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(C4,C4,[C4.gen().inverse()])
sage: phi = [[(1,2,3,4)],[alpha]]

[16,4]

17

C_{17}

[17,1]

18

C_{18}

[18,2]

18

C_6 times C_3

[18,5]

18

D_9

[18,1]

18

S_3 times C_3

[18,3]

18

Dih(C_3 times C_3)

sage: G = GeneralDihedralGroup([3,3])

[18,4]

19

C_{19}

[19,1]

20

C_{20}

[20,2]

20

C_{10} times C_2

[20,5]

20

D_{10}

[20,4]

20

Q_{{10}} (20阶双环群)

[20,1]

20

Hol(C_5)

sage: C5 = CyclicPermutationGroup(5)
sage: G = C5.holomorph()

[20,3]

21

C_{21}

[21,2]

21

C_7 rtimes_{phi} C_3

sage: C7 = CyclicPermutationGroup(7)
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(C7,C7,[C7.gen()**4])
sage: phi = [[(1,2,3)],[alpha]]

[21,1]

22

C_{22}

[22,2]

22

D_{11}

[22,1]

23

C_{23}

[23,1]

24

C_{24}

[24,2]

24

D_{12}

[24,6]

24

Q_{{12}} (24阶双环群)

[24,4]

24

C_{12} times C_2

[24,9]

24

C_6 times C_2 times C_2

[24、15日]

24

S_4 (4个字母上的对称群)

sage: G = SymmetricGroup(4)

[24、12日]

24

S_3 times C_4

[24,5]

24

S_3 times C_2 times C_2

[24日、14日]

24

D_4 times C_3

[24日,10日]

24

Q times C_3

[24日,11日]

24

A_4 times C_2

[24日、13日]

24

Q_6 times C_2

[24,7]

24

Q rtimes_{phi} C_3

sage: Q = QuaternionGroup()
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(Q,Q,[Q.gens()[0]*Q.gens()[1],Q.gens()[0].inverse()])
sage: phi = [[(1,2,3)],[alpha]]

[24,3]

24

C_3 rtimes_{phi} C_8

sage: C3 = CyclicPermutationGroup(3)
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(C3,C3,[C3.gen().inverse()])
sage: phi = [[(1,2,3,4,5,6,7,8)],[alpha]]

[24,1]

24

C_3 rtimes_{phi} D_4

sage: C3 = CyclicPermutationGroup(3)
sage: alpha1 = PermutationGroupMorphism(C3,C3,[C3.gen().inverse()])
sage: alpha2 = PermutationGroupMorphism(C3,C3,[C3.gen()])
sage: phi = [[(1,2,3,4),(1,3)],[alpha1,alpha2]]

[24,8]

25

C_{25}

[25,1]

25

C_5 times C_5

[25,2]

26

C_{26}

[26,2]

26

D_{13}

[26,1]

27

C_{27}

[27,1]

27

C_9 times C_3

[27,2]

27

C_3 times C_3 times C_3

[27,5]

27

分裂亚循环序群 3^3

sage: G = SplitMetacyclicGroup(3,3)

[27,4]

27

(C_3 times C_3) rtimes_{phi} C_3

sage: C3 = CyclicPermutationGroup(3)
sage: A = direct_product_permgroups([C3,C3])
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(A,A,[A.gens()[0]*A.gens()[1].inverse(),A.gens()[1]])
sage: phi = [[(1,2,3)],[alpha]]

[27,3]

28

C_{28}

[28,2]

28

C_{14} times C_2

[28,4]

28

D_{14}

[28,3]

28

Q_{{14}} (28阶双环群)

[28,1]

29

C_{29}

[29,1]

30

C_{30}

[30,4]

30

D_{15}

[30,3]

30

D_5 times C_3

[30,2]

30

D_3 times C_5

[30,1]

31

C_{31}

[31,1]

Kevin Halasz的表格

每一个有限列示的15阶或更少的组的施工说明

Sage能够很容易地将15阶以下的每一个群构造成有限呈现群。我们将首先讨论有限生成交换群,以及有限表示群的直积和半直积。

所有有限生成的交换群都可以使用 groups.presentation.FGAbelian(ls) 命令,在哪里 ls 是一个非负整数的列表,这些整数被简化为定义要返回的组的不变量。例如,建造 C_4 times C_2 times C_2 times C_2 我们可以简单地使用:

sage: A = groups.presentation.FGAbelian([4,2,2,2])

不管输入的整数列表是什么,给定组的输出都是相同的。下面的例子给出了30阶循环群的相同表示。:

sage: A = groups.presentation.FGAbelian([2,3,5])
sage: B = groups.presentation.FGAbelian([30])

如果 GH 是有限表示的群,我们可以使用下面的代码来创建 GHG times H .

sage: D = G.direct_product(H)

假设存在一个同态 phi 从一个团体 G 群的自同构群 H . 半直积 G 具有 H 通过 phi ,作为 GH ,进行手术 (g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, phi_{{h_1}}(g_2) h_2) 在哪里? phi_h = phi(h) . 要在Sage中为两个有限呈现群构造这个积,我们必须定义 phi 手动使用一对列表。第一个列表由组的生成器组成 G ,而第二个列表包含第一个列表中相应生成器的图像。这些自同构被定义为一对列表,其中一个是生成器,另一个是图像。作为一个例子,我们构造了16阶二面体群作为循环群的半直积。:

sage: C2 = groups.presentation.Cyclic(2)
sage: C8 = groups.presentation.Cyclic(8)
sage: hom = (C2.gens(), [ ([C8([1])], [C8([-1])]) ])
sage: D = C2.semidirect_product(C8, hom)

下表显示了顺序为15或更少的组,以及如何在Sage中构造它们。重复的命令被省略了,但是下面的例子描述了这些命令。

序的循环群 n 可以使用单个命令创建:

sage: C = groups.presentation.Cyclic(n)

类似于二面体序群 2n

sage: D = groups.presentation.Dihedral(n)

此表是根据Kevin Halasz创建的前一个表建模的。

秩序

组描述

命令

间隙ID

1

琐碎的群体

sage: G = groups.presentation.Symmetric(1)

[1,1]

2

C_2

sage: G = groups.presentation.Symmetric(2)

[2,1]

3

C_3

sage: G = groups.presentation.Cyclic(3)

[3,1]

4

C_4

[4,1]

4

C_2 times C_2

sage: G = groups.presentation.Klein()

[4,2]

5

C_5

[5,1]

6

C_6

[6,2]

6

S_3 (3个字母上的对称群)

sage: G = groups.presentation.Symmetric(3)

[6,1]

7

C_7

[7,1]

8

C_8

[8,1]

8

C_4 times C_2

sage: G = groups.presentation.FGAbelian([4,2])

[8,2]

8

C_2times C_2times C_2

sage: G = groups.presentation.FGAbelian([2,2,2])

[8,5]

8

D_4

sage: G = groups.presentation.Dihedral(4)

[8,3]

8

四元数群(Q)

sage: G = groups.presentation.Quaternion()

[8,4]

9

C_9

[9,1]

9

C_3 times C_3

[9,2]

10

C_{10}

[10,2]

10

D_5

[10,1]

11

C_{11}

[11,1]

12

C_{12}

[12,2]

12

C_6 times C_2

[12,5]

12

D_6

[12,4]

12

A_4 (4个字母交替分组)

sage: G = groups.presentation.Alternating(4)

[12,3]

12

Q_6 (12阶双环群)

sage: G = groups.presentation.DiCyclic(3)

[12,1]

13

C_{13}

[13,1]

14

C_{14}

[14,2]

14

D_{7}

[14,1]

15

C_{15}

[15,1]