庞家莱和代数拓扑学

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庞家莱和代数拓扑学

2016-11-08 作者: xuzhiping 浏览: 3155 次

摘要: 庞加莱(Henri Poincar6,1854~1912)是过去两个世纪来最者名的法国数学家。与同时代的德国数学家希尔伯特(David Hilbert,1862~1943)—样,庞加莱不仅深入了解数学的各个领域,而且在所有这些领域里的表现也十分活跃。不过,在庞...

庞加莱(Henri Poincar6,1854~1912)是过去两个世纪来最者名的法国数学家。与同时代的德国数学家希尔伯特(David Hilbert,1862~1943)—样,庞加莱不仅深入了解数学的各个领域,而且在所有这些领域里的表现也十分活跃。不过,在庞加莱与希尔伯特之后,数学的范畴变得十分浩瀚,每个人都只能理解其中一小部分。

庞加莱有一个最广为人知的问题,也就是今天所谓的“庞加莱猜想”,这个问题已经困扰并挑战了好几代数学家。2002年春天,南安普敦大学的邓伍迪(Michael Dunwoody)相(虽然只维持了几星期),他已经成功地解决了庞加莱猜想的证明。

由于解开庞加莱猜想相当重要,因此克雷数学研究所将这个问题列为七个千年难题之一,第一个解出其中任何一个问题的人可以获得100万美元奖金。事实上,这个奖金委员会认为,至少要数十年后才有办法颁发出第一个奖项;不过公布问题的两年后,似乎就出现了克雷基金会的第一位得奖者。可是,邓伍迪的证明的正确性引起了广泛的质疑,并最后证实,质疑者的理由相当充分。

庞加莱猜想属于拓扑学领域。简言之,这个数学分支研究的是: 一个物体是否可以在拉长、压扁或旋转后,不必经由撕裂、黏合等动作,就变形为另一个不同的物体。例如,皮球、鸡蛋、花盆在拓扑学里都可认为是等价的,因为其中任何一个物体均可以不经过任何“非法”行动变形为其他任何一个东西;但另一方面,皮球与咖啡杯则是不等价的,因为杯子有把手,皮球如果不钻洞就无法变形成杯子。因此,皮球、鸡蛋、花盆被称为“单连通的”,而杯子、面包圈或椒盐脆饼则正好相反。由于庞加莱不想从几何角度来探讨这个问题,而是改由代数着手解决,于是他成为了“代数拓扑学”的始祖。

1904年,庞加莱提出一个问题:是否所有没把手的东西都与球体等价?在二维空间里,这个问题可以参照鸡蛋、咖啡杯及花盆表面,然后回答:是的(例如,足球的表面或面包圈的表面都是飘在三维空间中的二维物体)。但对于四维空间中的三维表面,答案则还不清楚,尽管庞加莱倾向相信是这个答案,但他无法证明这个观点。

相当有趣的是,其后几十年间,数学家就已经证明出了四维以上空间中关于物体等价的庞加莱猜想。这是因为较高维度的空间更为自由,所以数学家要证明庞加莱猜想比较简单。例如,剑桥大学的塞曼(Christopher Zeeman)1961年加入竞赛,证明出五维2间中物体的庞加莱猜想;同一年,来自加州大学柏克莱分校的斯梅尔(StephenSmale)宣布,他证明了七维及以上空间中物体的庞加莱猜想;一年后,同样来自加州大学柏克莱分校的斯托林斯(John Stallings)证明出,庞加莱猜想对于六维空间中的物体成立;最后,1982年,加州大学圣迭戈分校的弗里德曼(Michael Freedman)证明出四维空间中物体的庞加莱猜想。现在,只剩下四维空间中的三维物体尚待证明,不过这反而更让人沮丧,因为四维空间即是我们所生活的“时空连续体”。

邓伍迪认为,自己已经找到了证明。2002年4月7日,他在网站上发表了一篇标题为《庞加莱猜想的证明》的初稿,一些有声望的数学家也称他为长期以来认真尝 试解出庞加莱猜想的第一人。在较高维度的空间里,虽然有额外的自由空间,但遇到球体时却很难辨认出来。要想理解其困难程度,就想象一下古代的海盗及冒险家,他们虽然经历多次远征及探索旅程,但仍然不知道地球是圆的。邓伍迪的研究是以澳洲数学家鲁宾斯坦(Hyam Rubinstein)早前的成果为基础,鲁宾斯坦研究的是 四维空间中的球体表面(要记住:四维空间物体的表面是一个三维物体)。

邓伍迪只用了不到5页的纸来展开他的论证,得到的结论是所有单连通、封闭、三维的表面都可以经过拉长、挤压、但不撕裂的方式,转变为球体表面,而这个陈述等于证明了庞加莱猜想。

唉!在他的网站上贴出他的证明后才几星期,邓伍迪就被迫在文章标题后面加上问号,他的一位同事发现他的证明有漏洞。于是,标题变成了“庞加莱猜想的证明?”,虽然邓伍迪立刻设法弥补漏洞,却没有成功,他的朋友和同事也都失败了。再过了几星期,这篇文章就从网站上消失了,而庞加莱猜想则还是像从前一样扑朔迷离。

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