摘要: 庞加莱（Henri Poincar6，1854～1912）是过去两个世纪来最者名的法国数学家。与同时代的德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）—样，庞加莱不仅深入了解数学的各个领域，而且在所有这些领域里的表现也十分活跃。不过，在庞...
庞加莱（Henri Poincar6，1854～1912）是过去两个世纪来最者名的法国数学家。与同时代的德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）—样，庞加莱不仅深入了解数学的各个领域，而且在所有这些领域里的表现也十分活跃。不过，在庞加莱与希尔伯特之后，数学的范畴变得十分浩瀚，每个人都只能理解其中一小部分。
庞加莱有一个最广为人知的问题，也就是今天所谓的“庞加莱猜想”，这个问题已经困扰并挑战了好几代数学家。2002年春天，南安普敦大学的邓伍迪（Michael Dunwoody）相（虽然只维持了几星期），他已经成功地解决了庞加莱猜想的证明。
由于解开庞加莱猜想相当重要，因此克雷数学研究所将这个问题列为七个千年难题之一，第一个解出其中任何一个问题的人可以获得100万美元奖金。事实上，这个奖金委员会认为，至少要数十年后才有办法颁发出第一个奖项；不过公布问题的两年后，似乎就出现了克雷基金会的第一位得奖者。可是，邓伍迪的证明的正确性引起了广泛的质疑，并最后证实，质疑者的理由相当充分。
庞加莱猜想属于拓扑学领域。简言之，这个数学分支研究的是： 一个物体是否可以在拉长、压扁或旋转后，不必经由撕裂、黏合等动作，就变形为另一个不同的物体。例如，皮球、鸡蛋、花盆在拓扑学里都可认为是等价的，因为其中任何一个物体均可以不经过任何“非法”行动变形为其他任何一个东西；但另一方面，皮球与咖啡杯则是不等价的，因为杯子有把手，皮球如果不钻洞就无法变形成杯子。因此，皮球、鸡蛋、花盆被称为“单连通的”，而杯子、面包圈或椒盐脆饼则正好相反。由于庞加莱不想从几何角度来探讨这个问题，而是改由代数着手解决，于是他成为了“代数拓扑学”的始祖。
1904年，庞加莱提出一个问题：是否所有没把手的东西都与球体等价？在二维空间里，这个问题可以参照鸡蛋、咖啡杯及花盆表面，然后回答：是的（例如，足球的表面或面包圈的表面都是飘在三维空间中的二维物体）。但对于四维空间中的三维表面，答案则还不清楚，尽管庞加莱倾向相信是这个答案，但他无法证明这个观点。
相当有趣的是，其后几十年间，数学家就已经证明出了四维以上空间中关于物体等价的庞加莱猜想。这是因为较高维度的空间更为自由，所以数学家要证明庞加莱猜想比较简单。例如，剑桥大学的塞曼（Christopher Zeeman）1961年加入竞赛，证明出五维2间中物体的庞加莱猜想；同一年，来自加州大学柏克莱分校的斯梅尔（StephenSmale）宣布，他证明了七维及以上空间中物体的庞加莱猜想；一年后，同样来自加州大学柏克莱分校的斯托林斯（John Stallings）证明出，庞加莱猜想对于六维空间中的物体成立；最后，1982年，加州大学圣迭戈分校的弗里德曼（Michael Freedman）证明出四维空间中物体的庞加莱猜想。现在，只剩下四维空间中的三维物体尚待证明，不过这反而更让人沮丧，因为四维空间即是我们所生活的“时空连续体”。
邓伍迪认为，自己已经找到了证明。2002年4月7日，他在网站上发表了一篇标题为《庞加莱猜想的证明》的初稿，一些有声望的数学家也称他为长期以来认真尝 试解出庞加莱猜想的第一人。在较高维度的空间里，虽然有额外的自由空间，但遇到球体时却很难辨认出来。要想理解其困难程度，就想象一下古代的海盗及冒险家，他们虽然经历多次远征及探索旅程，但仍然不知道地球是圆的。邓伍迪的研究是以澳洲数学家鲁宾斯坦（Hyam Rubinstein）早前的成果为基础，鲁宾斯坦研究的是 四维空间中的球体表面（要记住：四维空间物体的表面是一个三维物体）。
邓伍迪只用了不到5页的纸来展开他的论证，得到的结论是所有单连通、封闭、三维的表面都可以经过拉长、挤压、但不撕裂的方式，转变为球体表面，而这个陈述等于证明了庞加莱猜想。
唉！在他的网站上贴出他的证明后才几星期，邓伍迪就被迫在文章标题后面加上问号，他的一位同事发现他的证明有漏洞。于是，标题变成了“庞加莱猜想的证明？”，虽然邓伍迪立刻设法弥补漏洞，却没有成功，他的朋友和同事也都失败了。再过了几星期，这篇文章就从网站上消失了，而庞加莱猜想则还是像从前一样扑朔迷离。
