康韦与代数的“群”

Python与开源GIS

康韦与代数的“群”

2016-11-08 作者: xuzhiping 浏览: 2472 次

摘要: 代数的“群”是由元素(如整数:-3,-2,-1,0,1,2,3...),以及一 种运算组成,这种运算(如“+”号)能够结合两个元素。 元素要组成群的必要条件包括下列4项: 1.两个元素结合之后也必须属于这个群。 2.两次相继运算的顺序不影响结果。 3.群中必须...

代数的“群”是由元素(如整数:-3,-2,-1,0,1,2,3...),以及一 种运算组成,这种运算(如“+”号)能够结合两个元素。

元素要组成群的必要条件包括下列4项:

1.两个元素结合之后也必须属于这个群。

2.两次相继运算的顺序不影响结果。

3.群中必须有一个零元素。

4.每个元素都有逆元素。

因此,整数“在加法下”可以组成群;偶数也是,因为两个偶数相加还是偶数,4的逆元素是-4。在这两个例子里,0是零元素,因为任何数字加上0之后都不会改变;但奇数无法组成加法的群,因为两个奇数的和不是奇数。

整数与偶数是含有无限多元素的群,但也有由有限数目的元素组成的比较小的群。“钟面群”就是一个例子,这个群中包含了1至12的整数,如果我们选择群中的数字9,然后加上8,则时钟上将会显示5。

有限群的分类是20世纪最重要的数学成就之一,其重要性可媲美破译DNA或18世纪林耐提出的动物分类法,而之所以能完成这项重大任务,则是联合了全球数十位科学家的努力。

1982年,美国数学家高伦斯坦宣布已经成功地分类了全部的有限群。高伦斯坦与全世界的群论学家密切合作,曾经发表了500篇之多的文章,他证明了共有18个有限单群族和26个不同种类的散在单群,难怪这个定理被昵称为“巨大定理”。

回溯1960年代,大多数专家认为这项工作要到21世纪才能完成。不过有些新发现的罕见群,无法归类至当时已发展的系统中,这些群被称作“散在单群"。这个名称中“散在”一词的由来,是因为它们罕见;至于“单”,则是……呃,这个词与通常简单的概念毫无关系。

大约在同一时期,苏格兰格拉斯哥大学数学家利奇正在研究所谓高维格。我们可以将数学中的格想象成铁丝网,而围在网球场四周的铁丝网就是二维格;放置在游乐场中的攀登铁架则是三维格。三维格在结晶学中扮演重要的角色,例如能够说明原子的实体排列。但利奇并未满足于二维及三维空间,他找出了24维的格,并以他的名字命名其为利奇格。他开始研究这种格的性质。

几何物体最重要的性质是“对称性”。就像一个对称的骰子,无论绕着哪个轴旋转,看起来都不变;同样,利奇格也可以被扭转、旋转、翻转(尽管是在24维空间里),且永远维持类似的样子。如果某个物体有一个以上的对称性,它就可以绕着一根轴旋转,再绕着另一根轴旋转,然后再绕着第一根轴反向旋转,一直下去。正因该物体是对称的,所以每次旋转后看起来都一样。接下来,我们可以“加上”旋转,一个接着一个旋转,而且不会改变这个物体所呈现的外形;然后,我们还可以反向旋转,亦即绕着同一个轴,朝相反方向转动。

我们知道,“对称性”满足“加法律”,而且每个旋转都有一个逆旋转。这两项性质刚好满足群的定义要求(零元素是“不转”),所以对称物体的旋转可以被视为一个群的元素,群的实际性质则视特定物体本身而定。

这是不同数学分支学科交叉的许多例子之一,在这个例子中交叉的是几何与代数,此外,数学家也可以用代数工具来处理对称领域的几何问题。利奇猜想格的对称群极为有趣,但他很快发现自己不掌握分析群论的必要技巧,他设法激起别人对这个问题的兴趣,不过最终没有成功。最后,他转而向剑桥的年轻同行康韦求助。

康韦在利物浦长大,父亲是一名老师,他在剑桥大学取得了博士学位,并担任纯数学课程的讲师。但他很快就陷入重度忧郁,几近崩溃,无法发表任何研究成果。其实康韦并不怀疑自己的能力,但如果一直无法发表文章,又如何向世界证明自己的能力?因此,利奇的格的问题来得正是时候,刚好成为他的救星。

康韦不是有钱人,为了贴补微薄的收人,这个忧郁的数学家必须担任学生的家教,因此所剩的研究时间不多,几乎没有时间陪伴家人。不过,利奇提供的机会是这位年轻剑桥数学家期盼已久的踏脚石,他不会轻易放过。一天晚餐时,他还慎重地向妻子解释说,接下来几个星期他会忙于研究一个非常复杂的重要问题,所以每个星期三必须从下午6点工作到半夜,每个星期六则必须从中午做到半夜。但出乎康韦意料的是,他只花了一个星期六就解决了问题。 正是在那天下午康韦发现了能够描述利奇格的群,就是一个当时 尚未被发现的散在单群。

结果,那个刚被发现的群就被称为康韦群。康韦群拥有的元素数量惊人:8 315 553 613 086 720 000个,不多也不少。数学界对康韦的突破感到惊讶,因为它让全世界对有限群分类的努力又向前迈进了一大步。对康韦来说,更重要的是,他借由这个贡献激发了自信心,改变了他的数学生涯,更因此被选为英国皇家学会会员,此后一直工作在数学研究的尖端领域。1986年,他接受了普林斯顿大学的教职。

讲个题外话,康韦群并不是最大的散在单群,后面还有所谓大魔群,1980年密歇根大学的格里斯发现了这个散在单群。它有将近10个元素,数量比宇宙里的粒子还多。大魔群描述的是196883维空间中格的对称性。此外,还有所谓小魔群,“仅”有\(4 \times 10^{33}\)个元素,但仍比康韦群稍大。事实上,即使是平时面对古怪问题仍不失冷静的数学家,也会觉得散在单群非常怪异。

关注“开源集思”公众号
获取免费资源

随机推荐


Copyright © from 2014. 开源地理空间基金会中文分会 吉ICP备05002032号

Powered by TorCMS

OSGeo 中国中心 邮件列表

问题讨论 : 要订阅或者退订列表,请点击 订阅

发言 : 请写信给: osgeo-china@lists.osgeo.org