极坐标方程

极坐标方程


发布日期: 2016-10-24 更新日期: 2017-01-23 编辑:xuzhiping 浏览次数: 10949

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摘要: 用极坐标系描绘的曲线方程称作极坐标方程,一般表明为r为自变量θ的函数。 极坐标方程经常会表现出不一样的对称方式,假如r(-θ) = r(θ),则曲线对于极点(0°/180°)对称,假如r(π-θ) = r(θ),则曲线对于极点(90°/270°)对称,假如r(...

用极坐标系描绘的曲线方程称作极坐标方程,一般表明为r为自变量θ的函数。

极坐标方程经常会表现出不一样的对称方式,假如r(-θ) = r(θ),则曲线对于极点(0°/180°)对称,假如r(π-θ) = r(θ),则曲线对于极点(90°/270°)对称,假如r(θ-α) = r(θ),则曲线相当于从极点顺时针方向旋转α°。

方程为r(θ) = 1的圆。

在极坐标系中,圆心在(r0, φ) 半径为 a 的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2,这个方程假如由(x-a)^2+(y-b)^2=r^2转化而来,则r0^2=a^2+b^2,φ=arctan a/b.

该方程可简化为不一样的方法,以契合不一样的特定状况,比方方程r(θ)=a表明一个以极点为基地半径为a的圆。

直线

通过极点的射线由如下方程表明θ=φ

,其间φ为射线的歪斜视点,若 k为直角坐标系的射线的斜率,则有φ = arctan k。 任何不通过极点的直线都会与某条射线笔直。 这些在点(r0, φ)处的直线与射线θ = φ 笔直,其方程为 r(θ)=r0sec(θ-φ)

玫瑰线

一条方程为 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线。

极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中十分闻名的曲线,看上去像花瓣,它只能用极坐标方程来描绘,方程如下:

r(θ)=a cos kθ

r(θ)=a sin kθ

OR假如k是整数,当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣,当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。假如k为非整数,将产生圆盘(disc)状图形,且花瓣数也为非整数。注意:该方程不可能产生4的倍数加2(如2,6,10……)个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。

阿基米德螺线

方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线。

阿基米德螺线在极坐标里运用以下方程表明:r(θ)=a+bθ

.改动参数a将改动螺线形状,b操控螺线间间隔,一般其为常量。阿基米德螺线有两条螺线,一条θ > 0,另一条θ < 0。两条螺线在极点处滑润地衔接。把其间一条翻转 90°/270°得到其镜像,就是另一条螺线。

圆锥曲线

椭圆,展示了半正焦弦

圆锥曲线方程如下:r=ep/(1-e cosθ)

其间l表明半正焦弦,e表明离心率。 假如e < 1,曲线为椭圆,假如e = 1,曲线为抛物线,假如e > 1,则表明双曲线。

其间e表明离心率,p表明焦点到准线的间隔。

其他曲线

由于坐标体系是基于圆环的,所以很多有关曲线的方程,极坐标要比直角坐标系(笛卡尔方式)简略得多。比方lemniscates, en:lima?ons, anden:cardioids。

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