界面¶
Sage的一个中心方面是，它支持使用一个公共接口和干净的编程语言“在同一屋檐下”使用许多不同计算机代数系统中的对象进行计算。
一个接口的控制台和交互方法做着截然不同的事情。例如，以间隙为例：
gap.console()：这将打开GAP控制台-它将控制权转移到GAP。在这里，Sage只是一个方便的程序启动程序，类似于linuxbashshell。gap.interact()：这是一种与可能“充满”Sage对象的正在运行的GAP实例交互的便捷方式。您可以将Sage对象导入此GAP会话（甚至从交互界面）等。
普通合伙人/合伙人¶
PARI是一个紧凑的，非常成熟的，高度优化的C程序，其主要焦点是数论。在Sage中可以使用两种截然不同的接口：
gp-“的” G O型 P “ARI”翻译，以及pari-巴黎类库。
例如，下面是两种做同样事情的方法。它们看起来一模一样，但实际的输出是不同的，而且幕后发生的事情也大不相同。
sage: gp('znprimroot(10007)')
Mod(5, 10007)
sage: pari('znprimroot(10007)')
Mod(5, 10007)
在第一种情况下，GP解释器的一个单独副本作为服务器启动，字符串 'znprimroot(10007)' 被发送给它，由GP求值，结果被赋给GP中的一个变量（它占用了GP子进程中不会被释放的空间）。然后显示该变量的值。在第二种情况下，不启动单独的程序，并且字符串 'znprimroot(10007)' 由某个对等库函数计算。结果存储在Python堆上的一块内存中，当不再引用变量时，将释放该内存。对象有不同的类型：
sage: type(gp('znprimroot(10007)'))
<class 'sage.interfaces.gp.GpElement'>
sage: type(pari('znprimroot(10007)'))
<type 'cypari2.gen.Gen'>
那么你应该用哪一种呢？这取决于你在做什么。GP接口完全可以做任何你在通常的GP/PARI命令行程序中可以做的事情，因为它正在运行该程序。特别是，你可以加载复杂的PARI程序并运行它们。相比之下，PARI接口（通过C库）的限制要大得多。首先，并非所有成员函数都已实现。第二，很多代码，例如涉及数值积分的代码，不能通过PARI接口工作。也就是说，与GP-one相比，PARI接口可以明显更快、更健壮。
（如果GP接口在计算给定输入行时内存不足，它将自动静默地将堆栈大小加倍，然后重试该输入行。因此，如果没有正确地预测所需的内存量，则计算不会崩溃。这是一个很好的技巧，通常的家庭医生翻译似乎没有提供。对于PARI C库接口，它会立即从PARI堆栈中复制每个创建的对象，因此堆栈永远不会增长。但是，每个对象的大小不能超过100MB，否则在创建对象时堆栈将溢出。这种额外的复制确实会对性能造成轻微的影响。）
总之，Sage使用paric库来提供与GP/PARI解释器提供的功能类似的功能，只是使用了不同的复杂内存管理和Python编程语言。
首先，我们从Python列表创建PARI列表。
sage: v = pari([1,2,3,4,5])
sage: v
[1, 2, 3, 4, 5]
sage: type(v)
<type 'cypari2.gen.Gen'>
每一个物体都有类型 Gen . 基本对象的PARI类型可以使用 type 成员函数。
sage: v.type()
't_VEC'
在PARI中，为了创建一条椭圆曲线，我们输入 ellinit([1,2,3,4,5]) . Sage与此相似，只是 ellinit 是一个可以在任何PARI对象上调用的方法，例如 t_VEC v .
sage: e = v.ellinit()
sage: e.type()
't_VEC'
sage: pari(e)[:13]
[1, 2, 3, 4, 5, 9, 11, 29, 35, -183, -3429, -10351, 6128487/10351]
现在我们有了一个椭圆曲线的物体，我们可以计算它的一些东西。
sage: e.elltors()
[1, [], []]
sage: e.ellglobalred()
[10351, [1, -1, 0, -1], 1, [11, 1; 941, 1], [[1, 5, 0, 1], [1, 5, 0, 1]]]
sage: f = e.ellchangecurve([1,-1,0,-1])
sage: f[:5]
[1, -1, 0, 4, 3]
GAP¶
Sage为计算离散数学，特别是群论带来了空白。
下面是GAP的一个例子 IdGroup 功能。
sage: G = gap('Group((1,2,3)(4,5), (3,4))')
sage: G
Group( [ (1,2,3)(4,5), (3,4) ] )
sage: G.Center()
Group( () )
sage: G.IdGroup()
[ 120, 34 ]
sage: G.Order()
120
我们可以在Sage中执行相同的计算，而无需显式调用GAP接口，如下所示：
sage: G = PermutationGroup([[(1,2,3),(4,5)],[(3,4)]])
sage: G.center()
Subgroup generated by [()] of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,5)])
sage: G.group_id()
[120, 34]
sage: n = G.order(); n
120
对于一些GAP功能，您应该安装一个可选的Sage软件包。这可以通过以下命令完成：
sage -i gap_packages
单数¶
Singular为Gröbner基、多元多项式gcd、平面曲线的Riemann-Roch空间的基以及因子分解等提供了一个庞大而成熟的库。我们用Sage接口来说明多元多项式因式分解（不要键入 ....: ）：
sage: R1 = singular.ring(0, '(x,y)', 'dp')
sage: R1
polynomial ring, over a field, global ordering
// coefficients: QQ
// number of vars : 2
// block 1 : ordering dp
// : names x y
// block 2 : ordering C
sage: f = singular('9*y^8 - 9*x^2*y^7 - 18*x^3*y^6 - 18*x^5*y^6 +'
....: '9*x^6*y^4 + 18*x^7*y^5 + 36*x^8*y^4 + 9*x^10*y^4 - 18*x^11*y^2 -'
....: '9*x^12*y^3 - 18*x^13*y^2 + 9*x^16')
现在我们已经定义 \(f\) ，我们打印它和因子。
sage: f
9*x^16-18*x^13*y^2-9*x^12*y^3+9*x^10*y^4-18*x^11*y^2+36*x^8*y^4+18*x^7*y^5-18*x^5*y^6+9*x^6*y^4-18*x^3*y^6-9*x^2*y^7+9*y^8
sage: f.parent()
Singular
sage: F = f.factorize(); F
[1]:
_[1]=9
_[2]=x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4
_[3]=-x^5+y^2
[2]:
1,1,2
sage: F[1][2]
x^6-2*x^3*y^2-x^2*y^3+y^4
与中的间隙示例一样 GAP ，我们可以不显式地使用奇异接口来计算上述因子分解（然而，在幕后Sage使用奇异接口进行实际计算）。不要键入 ....: ：
sage: x, y = QQ['x, y'].gens()
sage: f = (9*y^8 - 9*x^2*y^7 - 18*x^3*y^6 - 18*x^5*y^6 + 9*x^6*y^4
....: + 18*x^7*y^5 + 36*x^8*y^4 + 9*x^10*y^4 - 18*x^11*y^2 - 9*x^12*y^3
....: - 18*x^13*y^2 + 9*x^16)
sage: factor(f)
(9) * (-x^5 + y^2)^2 * (x^6 - 2*x^3*y^2 - x^2*y^3 + y^4)
马克西玛¶
Maxima包含在Sage中，以及Lisp实现。gnuplot包（Maxima默认用于绘图）作为Sage可选包分发。除此之外，马克西玛还进行符号操纵。Maxima可以符号化地对函数进行积分和微分，求解一阶常微分方程、大多数线性二阶常微分方程，并实现了任意阶线性常微分方程的拉普拉斯变换方法。Maxima还了解广泛的特殊函数，具有通过gnuplot进行绘图的能力，并具有求解和操作矩阵（如行缩减、特征值和特征向量）和多项式方程的方法。
我们通过构造矩阵来说明Sage/Maxima接口 \(i,j\) 条目是 \(i/j\) ，为了 \(i,j=1,\ldots,4\) .
sage: f = maxima.eval('ij_entry[i,j] := i/j')
sage: A = maxima('genmatrix(ij_entry,4,4)'); A
matrix([1,1/2,1/3,1/4],[2,1,2/3,1/2],[3,3/2,1,3/4],[4,2,4/3,1])
sage: A.determinant()
0
sage: A.echelon()
matrix([1,1/2,1/3,1/4],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0])
sage: A.eigenvalues()
[[0,4],[3,1]]
sage: A.eigenvectors()
[[[0,4],[3,1]],[[[1,0,0,-4],[0,1,0,-2],[0,0,1,-4/3]],[[1,2,3,4]]]]
下面是另一个例子：
sage: A = maxima("matrix ([1, 0, 0], [1, -1, 0], [1, 3, -2])")
sage: eigA = A.eigenvectors()
sage: V = VectorSpace(QQ,3)
sage: eigA
[[[-2,-1,1],[1,1,1]],[[[0,0,1]],[[0,1,3]],[[1,1/2,5/6]]]]
sage: v1 = V(sage_eval(repr(eigA[1][0][0]))); lambda1 = eigA[0][0][0]
sage: v2 = V(sage_eval(repr(eigA[1][1][0]))); lambda2 = eigA[0][0][1]
sage: v3 = V(sage_eval(repr(eigA[1][2][0]))); lambda3 = eigA[0][0][2]
sage: M = MatrixSpace(QQ,3,3)
sage: AA = M([[1,0,0],[1, - 1,0],[1,3, - 2]])
sage: b1 = v1.base_ring()
sage: AA*v1 == b1(lambda1)*v1
True
sage: b2 = v2.base_ring()
sage: AA*v2 == b2(lambda2)*v2
True
sage: b3 = v3.base_ring()
sage: AA*v3 == b3(lambda3)*v3
True
最后，给出了一个用Sage作图的例子 openmath . 其中许多是根据Maxima参考手册修改的。
多个函数的二维绘图（不要键入 ....: ）：
sage: maxima.plot2d('[cos(7*x),cos(23*x)^4,sin(13*x)^3]','[x,0,1]', # not tested
....: '[plot_format,openmath]')
可以用鼠标移动的“实时”三维绘图（不要键入 ....: ）：
sage: maxima.plot3d ("2^(-u^2 + v^2)", "[u, -3, 3]", "[v, -2, 2]", # not tested
....: '[plot_format, openmath]')
sage: maxima.plot3d("atan(-x^2 + y^3/4)", "[x, -4, 4]", "[y, -4, 4]", # not tested
....: "[grid, 50, 50]",'[plot_format, openmath]')
下一个情节是著名的Möbius strip（不要键入 ....: ）：
sage: maxima.plot3d("[cos(x)*(3 + y*cos(x/2)), sin(x)*(3 + y*cos(x/2)), y*sin(x/2)]", # not tested
....: "[x, -4, 4]", "[y, -4, 4]", '[plot_format, openmath]')
下一个情节是著名的克莱恩瓶（不要键入 ....: ）：
sage: maxima("expr_1: 5*cos(x)*(cos(x/2)*cos(y) + sin(x/2)*sin(2*y)+ 3.0) - 10.0")
5*cos(x)*(sin(x/2)*sin(2*y)+cos(x/2)*cos(y)+3.0)-10.0
sage: maxima("expr_2: -5*sin(x)*(cos(x/2)*cos(y) + sin(x/2)*sin(2*y)+ 3.0)")
-5*sin(x)*(sin(x/2)*sin(2*y)+cos(x/2)*cos(y)+3.0)
sage: maxima("expr_3: 5*(-sin(x/2)*cos(y) + cos(x/2)*sin(2*y))")
5*(cos(x/2)*sin(2*y)-sin(x/2)*cos(y))
sage: maxima.plot3d ("[expr_1, expr_2, expr_3]", "[x, -%pi, %pi]", # not tested
....: "[y, -%pi, %pi]", "['grid, 40, 40]", '[plot_format, openmath]')