模型环的生成器

计算生成器

对于任何同余子群 \(\Gamma\) ，直接和

\[M（Gamma）=bigoplus_u{kgeq 0}M_k（Gamma）\]

是一个环，因为它是模块化形式的产物 \(f\in M_k(\Gamma)\) 和 \(g \in M_{{k'}}(\Gamma)\) 是一个元素 \(fg \in M_{{k+k'}}(\Gamma)\) . Sage可以计算模形式环的可能生成元，但目前还没有证明这些结果。

我们验证了Serre在《算术教程》中证明的陈述 \(E_4\) 和 \(E_6\) 生成一级模块形式的空间。

sage: ModularFormsRing(SL2Z).generators(prec=4)
[(4, 1 + 240*q + 2160*q^2 + 6720*q^3 + O(q^4)),
 (6, 1 - 504*q - 16632*q^2 - 122976*q^3 + O(q^4))]

你有没有想过环是由什么形状产生的 \(M(\Gamma_0(2))\) ? 结果表明，一种重量2和一种重量4就足够了。

sage: ModularFormsRing(Gamma0(2)).generators(prec=12)
[(2, 1 + 24*q + 24*q^2 + 96*q^3 + 24*q^4 + 144*q^5 + 96*q^6 + 192*q^7 + 24*q^8 + 312*q^9 + 144*q^10 + 288*q^11 + O(q^12)),
(4, 1 + 240*q^2 + 2160*q^4 + 6720*q^6 + 17520*q^8 + 30240*q^10 + O(q^12))]

这是发电机 \(M(\Gamma_0(3))\) . 注意重量元素 \(6\) 现在除了重量外，还需要 \(2\) 和 \(4\) .

sage: ModularFormsRing(Gamma0(3)).generators()
[(2, 1 + 12*q + 36*q^2 + 12*q^3 + 84*q^4 + 72*q^5 + 36*q^6 + 96*q^7 + 180*q^8 + 12*q^9 + O(q^10)),
(4, 1 + 240*q^3 + 2160*q^6 + 6720*q^9 + O(q^10)),
(6, 1 - 504*q^3 - 16632*q^6 - 122976*q^9 + O(q^10))]

（ Note ：截至2012年，代码更新意味着该测试的输出与2008年不太一样，但当然有多个同样有效的答案。）

我们也可以处理奇数同余子群的模型环，但通常的警告是我们不能计算权重1的形式。这些元素生成了重量为0或0的分次环 \(\ge 2\) .

sage: ModularFormsRing(Gamma1(3)).generators()
[(2, 1 + 12*q + 36*q^2 + 12*q^3 + 84*q^4 + 72*q^5 + 36*q^6 + 96*q^7 + 180*q^8 + 12*q^9 + O(q^10)),
(3, 1 + 54*q^2 + 72*q^3 + 432*q^5 + 270*q^6 + 918*q^8 + 720*q^9 + O(q^10)),
(3, q + 3*q^2 + 9*q^3 + 13*q^4 + 24*q^5 + 27*q^6 + 50*q^7 + 51*q^8 + 81*q^9 + O(q^10)),
(4, 1 + 240*q^3 + 2160*q^6 + 6720*q^9 + O(q^10))]