模数符号

模符号是一种美丽的数学，自20世纪60年代以来由Birch、Manin、Shokorov、Mazur、Merel、Cremona等人开发。正如我们将看到的那样，模符号不仅是一种强大的计算工具，而且还被用来证明以下特定值的合理性结果 \(L\) -系列，用于构建 \(p\) -ADDIC \(L\) -级数，它们在Merel证明数域上椭圆曲线上扭点的一致有界性定理中起着关键作用。

我们认为模符号是一种非常灵活的计算工具，它为计算提供了单一的统一算法 \(M_k(N,\varepsilon)\) 对于任何 \(N, \varepsilon\) 和 \(k\geq 2\) 。有一些方法可以使用这些空间的计算来获得加权空间的显式基 \(1\) 和半整数权重，所以从某种意义上说，模数符号产生了一切。也有将模符号推广到更高等级组的方法，尽管Sage目前没有用于更高等级组上的模符号的代码。

定义

A modular symbol of weight \(k\), and level \(N\), with character \(\varepsilon\) is a sum of terms \(X^i Y^{k-2-i} \{\alpha, \beta\}\), where \(0\leq i \leq k-2\) and \(\alpha, \beta \in \mathbb{P}^1(\QQ) = \QQ \cup \{\infty\}\). Modular symbols satisfy the relations

\[X^i Y^{k-2-i} \{\alpha, \beta\} + X^i Y^{k-2-i} \{\beta, \gamma\} + X^i Y^{k-2-i} \{\gamma, \alpha\} = 0\]
\[X^i Y^{k-2-i} \{\alpha, \beta\} = -X^i Y^{k-2-i} \{\beta, \alpha\},\]

and for every \(\gamma=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)\in\Gamma_0(N)\), we have

\[(dX - bY)^i (-cX + aY)^{k-2-i} \{\gamma(\alpha),\gamma(\beta)\} = \varepsilon(d) X^i Y^{k-2-i} \{\alpha, \beta\}.\]

The modular symbols space \(\mathcal{M}_k(N,\varepsilon)\) is the torsion free \(\QQ[\varepsilon]\)-module generated by all sums of modular symbols, modulo the relations listed above. Here \(\QQ[\varepsilon]\) is the ring generated by the values of the character \(\varepsilon\), so it is of the form \(\QQ[\zeta_m]\) for some integer \(m\).

使模符号有用的令人惊讶的定理是，对Hecke代数的作用有明确的描述 \(\mathbb{T}\) 在……上面 \(\mathcal{M}_k(N,\varepsilon)\) ，并且存在同构

\[\mathcal{M}_k(N,\varepsilon;\CC) \xrightarrow{\approx} M_k(N,\varepsilon) \oplus S_k(N,\varepsilon).\]

这意味着如果模符号是可计算的(它们是！)，那么它们可以用来计算关于 \(\mathbb{T}\) -模块 \(M_k(N,\varepsilon)\) 。

马宁符号

定义

尽管 \(\mathcal{M}_k(N,\varepsilon)\) 如上所述，它不是由有限多个元素显式生成的，而是有限生成的。Manin，Shokoruv和Merel给出了这个空间的有限多个生成元(Manin符号)的显式描述，以及这些生成元满足的所有显式关系(见我的书)。尤其是，如果我们让

\[(i,c,d) = [X^i Y^{2-k-i}, (c,d)] = (dX - bY)^i (-cX + aY)^{k-2-i} \{\gamma(0),\gamma(\infty)\},\]

where \(\gamma=\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)\), then the Manin symbols \((i,c,d)\) with \(0\leq i \leq k-2\) and \((c,d)\in\mathbb{P}^1(N)\) generate \(\mathcal{M}_k(N,\varepsilon)\).

Sage中的计算

我们为权空间计算一个基数 \(4\) 模数符号用于 \(\Gamma_0(11)\) ，然后强行进入 \((2,0,1)\) 和 \((1,1,3)\) 。

sage: M = ModularSymbols(11,4)
sage: M.basis()
([X^2,(0,1)], [X^2,(1,6)], [X^2,(1,7)], [X^2,(1,8)],
 [X^2,(1,9)], [X^2,(1,10)])
sage: M( (2,0,1) )
[X^2,(0,1)]
sage: M( (1,1,3) )
2/7*[X^2,(1,6)] + 1/14*[X^2,(1,7)] - 4/7*[X^2,(1,8)]
                + 3/14*[X^2,(1,10)]

我们计算了Manin符号的模符号表示 \((2,1,6)\) ，并通过转换回来验证这一点。

sage: a = M.1; a
[X^2,(1,6)]
sage: a.modular_symbol_rep()
36*X^2*{-1/6, 0} + 12*X*Y*{-1/6, 0} + Y^2*{-1/6, 0}
sage: 36*M([2,-1/6,0]) + 12*M([1,-1/6,0]) + M([0,-1/6,0])
[X^2,(1,6)]