图的方法

图的Mestre方法是一种有趣的算法，用于计算Hecke算子在另一个模上的作用 \(X\) 它同构于 \(M_2(\Gamma_0(N))\) 。遗憾的是，Sage中的实现仅在以下情况下有效 \(N\) 是质数；相比之下，我在Magma中的实现在以下情况下有效 \(N=pM\) 和 \(S_2(\Gamma_0(M))=0\) 。

上的Hecke算子的矩阵 \(X\) 比任何基础上都稀疏得多 \(M_2(\Gamma_0(N))\) 你可能会用到的东西。

sage: X = SupersingularModule(389); X
Module of supersingular points on X_0(1)/F_389 over Integer Ring
sage: t2_mestre = X.T(2).matrix()
sage: p_mestre = t2_mestre.charpoly()
sage: factor(p_mestre)
(x - 3) * (x + 2) * (x^2 - 2) * (x^3 - 4*x - 2) * ...

sage: t2 = ModularSymbols(389,sign=1).hecke_matrix(2)
sage: p = t2.charpoly()
sage: factor(p)
(x - 3) * (x + 2) * (x^2 - 2) * (x^3 - 4*x - 2) * ...

sage: p_mestre == p
True

图的方法在计算机科学中也被用来构造具有良好性质的扩展图。在我计算纯环模阿贝尔簇的Tamagawa数的算法中，它是很重要的。这个算法还没有在Sage中实现，因为它只在非素数级别的情况下有趣，正如它所证明的那样。

参考资料：

• 让-弗朗索瓦·梅斯特， La méthode des graphes. Exemples et applications ，《代数数域的类数和基本单位国际会议论文集》(Katata，1986)，217-242