模阿贝尔簇

The quotient of the extended upper half plane \(\mathfrak{h}^*\) by the congruence subgroup \(\Gamma_1(N)\) is the modular curve \(X_1(N)\). Its Jacobian \(J_1(N)\) is an abelian variety that is canonically defined over \(\QQ\). Likewise, one defines a modular abelian variety \(J_0(N)\) associated to \(\Gamma_0(N)\).

模阿贝尔变种是上的阿贝尔变种 \(\QQ\) 这是一个商 \(J_1(N)\) 对一些人来说 \(N\) 。

数论中最近最重要的定理是哈雷和温特伯格对Serre猜想的证明。根据Ribet和Serre的一个论证，这意味着下面的模性定理，它推广了Taylor-Wiles在证明Fermat大定理的过程中证明的模性定理。

我的长期研究目标之一是发展一套系统的模阿贝尔变种计算理论。一个很好的开端是使用Abel-Jacobi定理观察到，每个模阿贝尔簇(直到同构)都可以通过在模符号空间中给出一个格来指定。

Sage中的计算

我们定义了几个模阿贝尔水平簇 \(39\) ，并计算了一些基本的不变量。

sage: D = J0(39).decomposition(); D
[
Simple abelian subvariety 39a(1,39) of dimension 1 of J0(39),
Simple abelian subvariety 39b(1,39) of dimension 2 of J0(39)
]
sage: D[1].lattice()
Free module of degree 6 and rank 4 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[ 1  0  0  1 -1  0]
[ 0  1  1  0 -1  0]
[ 0  0  2  0 -1  0]
[ 0  0  0  0  0  1]
sage: G = D[1].rational_torsion_subgroup(); G
Torsion subgroup of Simple abelian subvariety 39b(1,39)
of dimension 2 of J0(39)
sage: G.order()
28
sage: G.gens()
[[(1/14, 2/7, 0, 1/14, -3/14, 1/7)], [(0, 1, 0, 0, -1/2, 0)],
 [(0, 0, 1, 0, -1/2, 0)]]
sage: B, phi = D[1]/G
sage: B
Abelian variety factor of dimension 2 of J0(39)
sage: phi.kernel()
(Finite subgroup with invariants [2, 14] ...

自同态

在Sage中有一个算法可以计算任意模阿贝尔簇的精确自同态环。

sage: A = J0(91)[2]; A
Simple abelian subvariety 91c(1,91) of dimension 2 of J0(91)
sage: R = End(A); R
Endomorphism ring of Simple abelian subvariety 91c(1,91)
of dimension 2 of J0(91)
sage: for x in R.gens():
....:     print(x.matrix())
....:     print("")
[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
<BLANKLINE>
[ 0  4 -2  0]
[-1  5 -2  1]
[-1  2  0  2]
[-1  1  0  3]

测试两个模阿贝尔变种的同构也是可能的。但仍有许多激动人心的理论和计算工作要做。