模型环的生成元

计算生成器

对任意同余子群 \(\Gamma\) ，直接和

\[M(\Gamma) = \bigoplus_{k\geq 0} M_k(\Gamma)\]

is a ring, since the product of modular forms \(f\in M_k(\Gamma)\) and \(g \in M_{k'}(\Gamma)\) is an element \(fg \in M_{k+k'}(\Gamma)\). Sage can compute likely generators for rings of modular forms, but currently doesn't prove any of these results.

我们验证了Serre的《算术教程》中所证明的陈述 \(E_4\) 和 \(E_6\) 生成一级模块形式的空间。

sage: ModularFormsRing(SL2Z).generators(prec=4)
[(4, 1 + 240*q + 2160*q^2 + 6720*q^3 + O(q^4)),
 (6, 1 - 504*q - 16632*q^2 - 122976*q^3 + O(q^4))]

你有没有想过戒指是由哪种形式产生的 \(M(\Gamma_0(2))\) ？结果是一种重量为2的重量和一种重量为4的重量就足够了。

sage: ModularFormsRing(Gamma0(2)).generators(prec=12)
[(2, 1 + 24*q + 24*q^2 + 96*q^3 + 24*q^4 + 144*q^5 + 96*q^6 + 192*q^7 + 24*q^8 + 312*q^9 + 144*q^10 + 288*q^11 + O(q^12)),
(4, 1 + 240*q^2 + 2160*q^4 + 6720*q^6 + 17520*q^8 + 30240*q^10 + O(q^12))]

这里有几台发电机， \(M(\Gamma_0(3))\) 。请注意，权重元素 \(6\) 现在除了重量外，还需要 \(2\) 和 \(4\) 。

sage: ModularFormsRing(Gamma0(3)).generators()
[(2, 1 + 12*q + 36*q^2 + 12*q^3 + 84*q^4 + 72*q^5 + 36*q^6 + 96*q^7 + 180*q^8 + 12*q^9 + O(q^10)),
(4, 1 + 240*q^3 + 2160*q^6 + 6720*q^9 + O(q^10)),
(6, 1 - 504*q^3 - 16632*q^6 - 122976*q^9 + O(q^10))]

( Note ：截至2012年，代码的更新意味着这次测试的输出与2008年的不完全相同，但当然有多个同样有效的答案。)

我们也可以处理奇同余子群的模形式环，但通常需要注意的是，我们不能计算权为1的形式。所以这些是生成权为0或 \(\ge 2\) 。

sage: ModularFormsRing(Gamma1(3)).generators()
[(2, 1 + 12*q + 36*q^2 + 12*q^3 + 84*q^4 + 72*q^5 + 36*q^6 + 96*q^7 + 180*q^8 + 12*q^9 + O(q^10)),
(3, 1 + 54*q^2 + 72*q^3 + 432*q^5 + 270*q^6 + 918*q^8 + 720*q^9 + O(q^10)),
(3, q + 3*q^2 + 9*q^3 + 13*q^4 + 24*q^5 + 27*q^6 + 50*q^7 + 51*q^8 + 81*q^9 + O(q^10)),
(4, 1 + 240*q^3 + 2160*q^6 + 6720*q^9 + O(q^10))]