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主要成分分析：背景
介绍¶
主要成分分析，首先介绍 page 1-14 ，是将一组相关变量转换为一组新的不相关变量的过程。这种转换是将原始轴旋转到相互正交的新方向，因此变量之间没有相关性。下图显示了Morro Bay TM场景中波段2与波段1的对比图。如您所见，特定像素的波段2的值与波段1的值相关。相关性很高。
因为旋转是 linear combination 对于原始测量，如果所有轴都包含在旋转中，则不会丢失任何信息。”“没有信息丢失”是指原始测量值可以从主要部件中恢复。如果原始数据集是 singular 则主成分将生成一个非奇异的新表示。有几种方法可以查看此转换：
1。它可以被视为 旋转 将现有轴移动到space defined by the original variables . 在这个新的旋转中，旋转定义的新变量之间没有相关性。第一个新变量包含最大变化量，第二个新变量包含第一个和第一个正交等无法解释的最大变化量。
2。它可以被看作是发现 投影 对包含在 space defined by the original variables . 标准是第一个轴“包含”最大变化量，或“说明”最大变化量。第二个轴包含与第一个轴正交的最大变化量。第三个轴包含与第一个和第二个轴正交的最大变化量，依此类推，直到一个轴具有最后一个新轴，即最后一个剩余的变化量。正如你所看到的，这确实是两种稍微不同的表达方式。
计算主要成分有几种算法。给定相同的起始数据，它们将产生相同的结果，但只有一个例外（您感到惊讶吗？）.这个例外是，如果在某一点上，有两个或多个可能的旋转包含相同的“最大”变化，那么使用哪个是不确定的。在二维中，数据云看起来像一个圆，而不是椭圆。在一个圆中，任何旋转都是等效的。在椭圆数据云中，第一个分量将平行于椭圆的长轴。
为了计算旋转，我们可以从方差-协方差矩阵或相关矩阵开始。如果一 standardizes 数据并计算出方差协方差矩阵，则所得结果将与相关矩阵相同。那些希望练习代数的人可以通过推导方差协方差矩阵和基于“原始”数据计算的相关矩阵的公式以及基于标准化数据计算的方差协方差矩阵来证明这一点。
莫罗湾场景的第一个主要组成部分的柱状图为：
莫罗湾场景的第二个主要组成部分的柱状图为：
把这些和 histograms of the original bands. ，您可以通过前后翻转到第1-3页，然后转到该页。
我们可以绘制第二个主分量与第一个主分量的对比图，以得到下面的二维视图。
我们如何得到这个数字？平行于x轴的椭圆云是我们所期望的。但我们需要记住的是，我们在一个7维空间中执行轴的刚性旋转，每个带（或变量）一个。我们可以看到原始数据不是多变量正态的，这是一个假设，如果要进行任何参数统计测试，就需要满足这个假设。这一非正态性表明了在图上斜穿过的点的反常云。如果数据在7维上是多变量正态的，那么图中只有一个云团，就像上面图中的水平云团一样。