多项式的减法

多项式的减法

2017-01-12 作者: xuzhiping 浏览: 2869 次

摘要: 多项式 由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式。多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数。 减法中有:减一个数等于加上它的相反数 定义 在数学中,多项式(polynomial)是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、指...

多项式

由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式。多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数。

减法中有:减一个数等于加上它的相反数

定义

在数学中,多项式(polynomial)是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、指数(正整数次)运算得到的表达式。

对于比较广义的定义,1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义,多项式就是整式。实际上,还没有一个只对狭义多项式起作用,对单项式不起作用的定理。0作为多项式时,次数定义为负无穷大(或0)。单项式和多项式统称为整式。

多项式中不含字母的项叫做常数项。如:5X+6中的6就是常数项。

几何特征

多项式是简单的连续函数,它是平滑的,它的微分也必定是多项式。

泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数,此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。

应用

函数及根

给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An,我们把 f 中的 xj 都换成 aj,得出一个 A 中的元素,记作 f(a1...an)。如此, f 可看作一个由 An 到 A 的函数。

若然 \(f(a1...an)=0\),则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。

例如 \(f=x^2+1\)。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵,则 f 会无根、有两个根、及有无限个根!

例如 f=x-y若然考虑 x 是实数或复数,则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合,是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。

另外,若所有系数为实数多项式 P(x)有复数根Z,则Z的共轨复数也是根。

若P(x)有n个重叠的根,则 P‘(x) 有n-1个重叠根。即若 \(P(x)=(x-a)^nQ(x)\),则有 a 是 P’(x)的重叠根且有n-1个。

插值多项式

在实际问题中,往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关系y=F(x),通常只给出了F(x)在某些点xi上的函数值\(yi=F(xi)\),\(j=1,2,…,n+1\)。即使有时给出了函数F(x)的解析表达式,倘若较为复杂,也不便于计算。因此,需要根据给定点 xi 上的函数值F(xi),求出一个既能反映F(x)的特性,又便于计算的简单函数ƒ(x)来近似地代替F(x),此时ƒ(x)称为F(x)的插值函数;x1,x2,…,xn+1,称为插值节点。求插值函数的方法,称为插值法。

多项式是一类简单的初等函数,而且任给两组数:b1,b2,…,bn+1和各不相同的 с1,с2,…,сn+1,总有唯一的次数不超过n的多项式ƒ(x)满足\(ƒ(сi)=bi\),\(i=1,2,…,n+1\)。因此在实际应用中常常取多项式作为插值函数。作为插值函数的多项式,称为插值多项式。插值多项式在计算数学插值中最常用。

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