多项式的减法

多项式

由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

减法中有：减一个数等于加上它的相反数

定义

在数学中，多项式（polynomial）是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、指数（正整数次）运算得到的表达式。

对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数定义为负无穷大（或0）。单项式和多项式统称为整式。

多项式中不含字母的项叫做常数项。如：5X+6中的6就是常数项。

几何特征

多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。

泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数，此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限。

应用

函数及根

给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1...an)∈An，我们把 f 中的 xj 都换成 aj，得出一个 A 中的元素，记作 f(a1...an)。如此， f 可看作一个由 An 到 A 的函数。

若然 \(f(a1...an)=0\)，则 (a1...an) 称作 f 的根或零点。

例如 \(f=x^2+1\)。若然考虑 x 是实数、复数、或矩阵，则 f 会无根、有两个根、及有无限个根！

例如 f=x-y若然考虑 x 是实数或复数，则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。

另外，若所有系数为实数多项式 P(x)有复数根Z，则Z的共轨复数也是根。

若P（x）有n个重叠的根，则 P‘(x) 有n-1个重叠根。即若 \(P(x)=(x-a)^nQ(x)\)，则有 a 是 P’(x)的重叠根且有n-1个。

插值多项式

在实际问题中，往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关系y=F(x)，通常只给出了F(x)在某些点xi上的函数值\(yi=F(xi)\),\(j=1，2，…,n+1\)。即使有时给出了函数F(x)的解析表达式，倘若较为复杂，也不便于计算。因此，需要根据给定点 xi 上的函数值F(xi),求出一个既能反映F(x)的特性,又便于计算的简单函数ƒ(x)来近似地代替F(x),此时ƒ(x)称为F(x)的插值函数；x1,x2,…,xn+1，称为插值节点。求插值函数的方法，称为插值法。

多项式是一类简单的初等函数，而且任给两组数：b1,b2,…,bn+1和各不相同的 с1,с2,…,сn+1，总有唯一的次数不超过n的多项式ƒ(x)满足\(ƒ(сi)=bi\)，\(i=1，2，…,n+1\)。因此在实际应用中常常取多项式作为插值函数。作为插值函数的多项式，称为插值多项式。插值多项式在计算数学插值中最常用。