基本坐标变换¶

在投影变换过程中，有以下三种基本的操作：平移、旋转和缩放。

1）平移

平移是将图形的一部分或者整体移动到笛卡尔坐标系中另外的位置(图6-11-a)，其变换公式如下：

X’=X+T:sub:`x`

Y’=Y+T:sub:`y`

2）缩放

缩放操作可以用于输出大小不同的图形（图6-11-b），其公式为：

X’=XS:sub:`x`

Y’=YS:sub:`y`

3）旋转

在地图投影变换中，经常要应用旋转操作（图6-11-c），实现旋转操作要用到三角函数，假定顺时针旋转角度为θ，其公式为：

X’=Xcosθ+Ysinθ

Y’=-Xsinθ+Ycosθ

平移

缩放

图形旋转

图6-11：图形坐标变换

仿射变换（Affine Tranformation）¶

如果综合考虑图形的平移、旋转和缩放，则其坐标变换式如下：

上式是一个正交变换，其更为一般的形式是：

后者被称为二维的仿射变换（Affine Transformation），仿射变换在不同的方向可以有不同的压缩和扩张，可以将球变为椭球，将正方形变为平行四边形（图6-12）。

图形修改¶

在建立拓扑关系的过程中，一些在数字化输入过程中的错误需要被改正，否则，建立的拓扑关系将不能正确地反映地物之间的关系。

ESRI定义了以下判断录入图形是否正确的六个准则，可以帮助发现拓扑错误。

1. 所有录入的实体都能够表现出来；

2. 没有输入额外的实体；

3. 所有的实体都在正确的位置上，并且其形状和大小正确；

4. 所有具有连接关系的实体都已经连上；

5. 所有的多边形都有且只有一个标志点以识别它们；

6. 所有的实体都在边界之内

上述的准则，特别是第五和第六条，只是针对ESRI的ARC/INFO软件而言，其它的GIS软件由于具体实现的不同，可能会有差异。

由于地图数字化，特别是手扶跟踪数字化，是一件耗时、烦杂的人力劳动，在数字化过程中的错误几乎是不可避免的，造成数字化错误的具体原因包括：

1. 遗漏某些实体；

2. 某些实体重复录入，由于地图信息是二维分布的，并且信息量一般很大，所以要准确记录哪些实体已经录入，哪些实体尚未录入是困难的，这就容易造成重复录入和遗漏；

3. 定位的不准确，数字化仪分辨率可以造成定位误差，但是人的因素是位置不准确的主要原因，如手扶跟踪数字化过程中手的抖动，两次录入之间图纸的移动都可以使位置不准确；更重要的，在手扶跟踪数字化过程中，难以实现完全精确的定位，例如在水系的录入中（图6-14），将支流的终点恰好录入在干流上基本上是不可能的（图6-14-a），更常见的是图（b）和（c）所示的两种情况。

在数字化后的地图上，错误的具体表现形式有：

1）伪节点（Pseudo Node），伪节点使一条完整的线变成两段（图15），造成伪节点的原因常常是没有一次录入完毕一条线。

2）悬挂节点（Dangling Node），如果一个节点只与一条线相连接，那么该节点称为悬挂节点，悬挂节点有多边形不封闭（图6-16-a）、不及和过头（图6-14-b，图6-14-c），节点不重合（图6-16-b）等几种情形。

多边形不封闭；节点不重合

图6-16：悬挂节点的两种情形

3）“碎屑”多边形或“条带”多边形（Sliver Polygon）

条带多边形（图6-17）一般由于重复录入引起，由于前后两次录入同一条线的位置不可能完全一致，造成了“碎屑”多边形。另外，由于用不同比例尺的地图进行数据更新，也可能产生“碎屑”多边形。

4）不正规的多边形（Weird Polygon）

不正规的多边形（图6-18）是由于输入线时，点的次序倒置或者位置不准确引起的。在进行拓扑生成时，同样会产生“碎屑”多边形。

上述的错误，一般会在建立拓扑的过程中发现，需要进行编辑修改。一些错误，如悬挂节点，可以在编辑的同时，由软件自动修改，通常的实现办法是设置一个“捕获距离”，当节点之间、或者节点与线之间的距离小于此数值后，即自动连接；而另外的错误需要进行手工编辑修改。

建立拓扑关系¶

在图形修改完毕之后，就意味着可以建立正确的拓扑关系，拓扑关系可以由计算机自动生成，目前大多数GIS软件也都提供了完善的拓扑功能；但是在某些情况下，需要对计算机创建的拓扑关系进行手工修改，典型的例子是网络连通性。

正如拓扑的定义所描述的，建立拓扑关系时只需要关注实体之间的连接、相邻关系，而节点的位置、弧段的具体形状等非拓扑属性则不影响拓扑的建立过程。

1）多边形拓扑关系的建立

如果使用DIME或者类似的编码模型，多边形拓扑关系的表达需要描述以下实体之间的关系：

• 多边形的组成弧段；

• 弧段左右两侧的多边形，弧段两端的节点；

• 节点相连的弧段。

多边形拓扑的建立过程实际上就是确定上述的关系。具体的拓扑建立过程与数据结构有关，但是其基本原理是一致的，下面简述多边形拓扑建立过程（图6-19）。

图6-19中共有4个节点，以A、B、C、D表示；6条弧段，用数字表示；以及I、II、III三个多边形（图6-19-a）。首先定义以下概念：

• 由于弧段是有方向的，算法中将弧段A的起始节点称为首节点N:sub:`s`(A)，而终止节点为尾节点N:sub:`E`(A)；

• 考虑到弧段的方向性，沿弧段前进方向，将其相邻的多边形分别定义为左多边形和右多边形P:sub:`L`(A)和P:sub:`R`(A)。

在建立拓扑之前，首先将所有弧段的左右多边形（在实现中，可以用多边形的编码表示）都设置为空；然后对每个节点计算与其相连弧段的在连接处的角度，并进行排序（图6-19-b）（注意，这个排序是循环的）。建立拓扑的算法如下：

1. 得到第一条弧段A，并设置为当前弧段；

2. 判断P:sub:`L`(A)和P:sub:`R`(A)是否为空。如果都非空，转到第一步，当所有弧段处理完毕后，算法结束；

3. 如果左多边形为空，则创建一个新的多边形P，多边形的第一条弧段为当前弧段，并设置P:sub:`L`(A)=P，设置搜寻起始节点为N:sub:`s`(A)，搜寻当前节点为N:sub:`E`(A)。如果右多边形为空，则创建一个新的多边形P，多边形的第一条弧段为当前弧段，并设置P:sub:`R`(A)=P，设置搜寻起始节点N:sub:`0`=N:sub:`E`(A)，搜寻当前节点N:sub:`C`=N:sub:`S`(A)。

4. 判断N:sub:`0`和N:sub:`C`是否相等，如果是，则多边形所有弧段都已经找到，转到第一步。

5. 检查与当前节点相连接的、已经排列好的弧段序列，将当前弧段的下一条弧段A'作为多边形的第二条弧段。

6. 如果N:sub:`C`=N:sub:`S`(A')，设置P:sub:`L`(A')=P，N:sub:`C`=N:sub:`E`(A)；如果N:sub:`C`=N:sub:`E`(A')，设置P:sub:`R`(A')=P，N:sub:`C`=N:sub:`S`(A)，转到第四步。

如图6-19-c所示，如果从弧段4开始搜寻，找到节点C后，根据弧段的排序，下一条弧段是2；然后找到节点A，弧段1，整个搜寻结束，建立多边形I，其组成弧段为4、2、1。

按照这种算法，生成多边形的弧段从多边形内部看，是逆时针排列的。如果节点弧段排序为顺时针，则算法中用P:sub:`L`(A)代替P:sub:`R`(A)，用P:sub:`R`(A)代替P:sub:`L`(A)，生成的多边形弧段是顺时针排列的。

多边形拓扑的建立，要注意多边形带“岛”的情况，按照上述算法，对于带“岛”的多边形，或者称为环，其包含的弧段构成了多个闭合曲线，并且“岛”的弧段排序是顺时针的（图6-20）（实际上，从环状多边形内部看，它仍然是逆时针的）。

图6-20：带“岛”的多边形建立拓扑的结果。

2）网络拓扑关系的建立

在输入道路、水系、管网、通信线路等信息时，为了进行流量以及连通性分析，需要确定线实体之间的连接关系。网络拓扑关系的建立包括确定节点与连接线之间的关系，这个工作可以由计算机自动完成，但是在一些情况中，如道路交通应用中，一些道路虽然在平面上相交，但是实际上并不连通，如立交桥，这是需要手工修改，将连通的节点删除（图6-21）。