numpy.polyfit

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)

最小二乘多项式拟合。

注解

这是旧的多项式API的一部分。从版本1.4开始，新的多项式API在 numpy.polynomial 首选。差异可以在摘要中找到 transition guide .

拟合多项式 p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg] 程度的 deg 指向 (x, y) . 返回系数向量 p 这样可以最大限度地减少顺序中的平方误差。 deg ， deg-1 ，… 0 .

这个 Polynomial.fit 由于类方法在数值上更稳定，因此建议对新代码使用类方法。有关详细信息，请参阅方法的文档。

参数

x阵列状，形状（m，）

m采样点的x坐标 (x[i], y[i]) .

y阵列状，形状（m，）或（m，k）

采样点的Y坐标。通过传递一个每列包含一个数据集的二维数组，可以同时拟合多个共享相同X坐标的采样点数据集。

deg利息

拟合多项式的次数

rcond可选浮动

拟合的相对条件数。相对于最大奇异值，小于此值的奇异值将被忽略。默认值是len（x）*eps，其中eps是浮点类型的相对精度，在大多数情况下约为2e-16。

full可选的布尔

开关决定返回值的性质。当它为假（默认值）时，仅返回系数，当同时返回奇异值分解的真实诊断信息时。

w阵列式，形状（m），可选

应用于采样点Y坐标的权重。对于高斯不确定性，使用1/sigma（而不是1/sigma**2）。

covbool或str，可选

如果给予与否 False ，不仅返回估计，还返回其协方差矩阵。默认情况下，协方差按chi2/dof缩放，其中dof=M-（deg+1），即，除非在相对意义上，否则假设权重是不可靠的，并且缩放所有内容以使得缩减的chi2是统一的。如果 cov='unscaled' ，与权重为1/sigma**2的情况相关，已知sigma是不确定度的可靠估计。

返回

pndarray，形状（deg+1，）或（deg+1，k）

多项式系数，最高次优先。如果 y 是二维的，系数为 k -数据集在 p[:,k] .

残差，秩，奇异值，rcond

仅当存在时 full =正确。残差是最小二乘拟合残差的平方和、按比例计算的范德蒙系数矩阵的有效秩、其奇异值和 rcond . 有关详细信息，请参阅 linalg.lstsq .

Vn阵列，形状（m，m）或（m，m，k）

仅当存在时 full =假和 cov =真。多项式系数估计的协方差矩阵。这个矩阵的对角线是每个系数的方差估计。如果y是二维数组，那么 k -数据集在 V[:,:,k]

警告

RankWarning

最小二乘拟合中系数矩阵的秩是不足的。只有在以下情况下才会发出警告： full =假。

可通过以下方式关闭警告：

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

参见

polyval

计算多项式值。

linalg.lstsq

计算最小二乘拟合。

scipy.interpolate.UnivariateSpline

计算样条曲线拟合。

笔记

该解使平方误差最小化。

System Message: WARNING/2 (e=\sum_j=0_k_p（x_j）-y_j_2)

latex exited with error [stdout] This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.19 (TeX Live 2019/dev/Debian) (preloaded format=latex) restricted \write18 enabled. entering extended mode (./math.tex LaTeX2e <2018-12-01> (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2018/09/03 v1.4i Standard LaTeX document class (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size12.clo)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amscls/amsthm.sty) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/anyfontsize/anyfontsize.sty) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/tools/bm.sty) (./math.aux) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) ! Double subscript. <argument> \split@tag \begin {split}e=\sum _j=0_k_ p（x_j）-y_j_2\end {split} l.14 ...t}e=\sum_j=0_k_p（x_j）-y_j_2\end{split} ! Package inputenc Error: Unicode character （ (U+FF08) (inputenc) not set up for use with LaTeX. See the inputenc package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.14 ...t}e=\sum_j=0_k_p（x_j）-y_j_2\end{split} ! Package inputenc Error: Unicode character ） (U+FF09) (inputenc) not set up for use with LaTeX. See the inputenc package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.14 ...t}e=\sum_j=0_k_p（x_j）-y_j_2\end{split} ! Double subscript. <argument> ...{split}e=\sum _j=0_k_p（x_j）-y_j_ 2\end {split} l.14 ...t}e=\sum_j=0_k_p（x_j）-y_j_2\end{split} ! Double subscript. <argument> \split@tag \begin {split}e=\sum _j=0_k_ p（x_j）-y_j_2\end {split} l.14 ...t}e=\sum_j=0_k_p（x_j）-y_j_2\end{split} ! Package inputenc Error: Unicode character （ (U+FF08) (inputenc) not set up for use with LaTeX. See the inputenc package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.14 ...t}e=\sum_j=0_k_p（x_j）-y_j_2\end{split} ! Package inputenc Error: Unicode character ） (U+FF09) (inputenc) not set up for use with LaTeX. See the inputenc package documentation for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.14 ...t}e=\sum_j=0_k_p（x_j）-y_j_2\end{split} ! Double subscript. <argument> ...{split}e=\sum _j=0_k_p（x_j）-y_j_ 2\end {split} l.14 ...t}e=\sum_j=0_k_p（x_j）-y_j_2\end{split} [1] (./math.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on math.dvi (1 page, 552 bytes). Transcript written on math.log.

方程式中：

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

系数矩阵 p 是范德蒙矩阵。

polyfit 问题A RankWarning 当最小二乘拟合条件很差时。这意味着由于数值误差，最佳拟合的定义不明确。通过降低多项式次数或替换，可以改善结果。 x 通过 x - x （）这个 rcond 参数也可以设置为小于其默认值的值，但结果拟合可能是假的：包括小奇异值的贡献可以为结果添加数字噪声。

注意，当多项式的阶数较大或采样点的间隔中心差时，拟合多项式系数的条件就很差。在这些情况下，应始终检查配合质量。当多项式拟合不令人满意时，样条曲线可能是一个很好的选择。

工具书类

1

维基百科，“曲线拟合”，https://en.wikipedia.org/wiki/curve_fitting

2

维基百科，“多项式插值”，https://en.wikipedia.org/wiki/多项式插值

实例

>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

使用方便 poly1d 处理多项式的对象：

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

高阶多项式可能剧烈振荡：

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

插图：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()

numpy.roots numpy.polyder