numpy.linalg.svd¶

linalg.svd(a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)[源代码]¶

奇异值分解。

什么时候？ a 是一个二维数组，它被分解为 u @ np.diag(s) @ vh = (u * s) @ vh 在哪里 u 和 vh 是二维单一数组和 s 是1d数组 a 的奇异值。什么时候？ a 是高维的，SVD以叠加模式应用，如下所述。

参数

a（…，m，n）数组类: 实数或复数数组 a.ndim >= 2 .
full_matrices可选的布尔: 如果为真（默认值）， u 和 vh 有形状 (..., M, M) 和 (..., N, N) ，分别。否则，形状是 (..., M, K) 和 (..., K, N) ，分别为，其中 K = min(M, N) .
compute_uv可选的布尔: 是否计算 u 和 vh 除了 s . 默认为true。
hermitian可选的布尔: 如果属实， a 假设为Hermitian（实值对称），从而可以更有效地找到奇异值。默认为false。

1.17.0 新版功能.

返回

u（…，m，m），（…，m，k）数组: 一元数组。第一 a.ndim - 2 尺寸与输入尺寸相同 a . 最后两个维度的大小取决于 full_matrices . 仅在以下情况返回 compute_uv 是True。
s（…，K）阵列: 具有奇异值的向量，位于按降序排序的每个向量内。第一 a.ndim - 2 尺寸与输入尺寸相同 a .
vh（…，N，N），（…，K，N）数组: 一元数组。第一 a.ndim - 2 尺寸与输入尺寸相同 a . 最后两个维度的大小取决于 full_matrices . 仅在以下情况返回 compute_uv 是True。

加薪

LinAlgError: 如果SVD计算不收敛。

参见

scipy.linalg.svd: 在SciPy中有类似的功能。
scipy.linalg.svdvals: 计算矩阵的奇异值。

笔记

在 1.8.0 版更改: 广播规则适用，见 numpy.linalg 有关详细信息的文档。

使用lapack程序进行分解。 _gesdd .

SVD通常用于描述二维矩阵的因式分解。 $A$ . 下面将讨论更高维度的情况。在二维情况下，SVD写为 $A = U S V^H$ 在哪里 $A = a$ ， $U= u$ ， $S= \mathtt{{np.diag}}(s)$ 和 $V^H = vh$ . 一维数组 s 包含的奇异值 a 和 u 和 vh 是酉的。行 vh 是的特征向量 $A^H A$ 以及 u 是的特征向量 $A A^H$ . 在这两种情况下，相应的（可能非零）特征值由下式给出： s**2 .

如果 a 有两个以上的维度，则适用广播规则，如中所述几个矩阵上的线性代数 . 这意味着SVD在“叠加”模式下工作：它迭代第一个索引的所有索引 a.ndim - 2 尺寸和每个组合的SVD应用于最后两个索引。矩阵 a 可以从分解中重建 (u * s[..., None, :]) @ vh 或 u @ (s[..., None] * vh) . (The @ 可以用函数替换运算符 np.matmul 对于低于3.5的python版本。）

如果 a 是一个 matrix 对象（与 ndarray ，那么所有的返回值也是如此。

实例

>>> a = np.random.randn(9, 6) + 1j*np.random.randn(9, 6)
>>> b = np.random.randn(2, 7, 8, 3) + 1j*np.random.randn(2, 7, 8, 3)

基于全SVD的重建，二维案例：

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=True)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((9, 9), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(u[:, :6] * s, vh))
True
>>> smat = np.zeros((9, 6), dtype=complex)
>>> smat[:6, :6] = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(u, np.dot(smat, vh)))
True

基于简化SVD的重建，二维案例：

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=False)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((9, 6), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(u * s, vh))
True
>>> smat = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(u, np.dot(smat, vh)))
True

基于全SVD的重建，4d案例：

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=True)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((2, 7, 8, 8), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(u[..., :3] * s[..., None, :], vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(u[..., :3], s[..., None] * vh))
True

基于简化SVD的重建，4d案例：

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=False)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((2, 7, 8, 3), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(u * s[..., None, :], vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(u, s[..., None] * vh))
True

numpy.linalg.qr numpy.linalg.eig