教程：理解、迭代器和迭代

清单理解

List comprehensions 是用Python语言构造列表的一种非常方便的方法。你可以使用以下两种习语中的一种：

[ <expr> for <name> in <iterable> ]
[ <expr> for <name> in <iterable> if <condition> ]

例如，以下是一些正方形的列表：

sage: [ i^2 for i in [1, 3, 7] ]
[1, 9, 49]
sage: [ i^2 for i in range(1,10) ]
[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81]
sage: [ i^2 for i in range(1,10) if i % 2 == 1]
[1, 9, 25, 49, 81]

以及后者的变体：：

sage: [i^2 if i % 2 == 1 else 2 for i in range(10)]
[2, 1, 2, 9, 2, 25, 2, 49, 2, 81]

习题

1. 构造介于1和10之间的素数平方的列表：

   sage: # edit here
   

2. 构造小于100的完美正方形的列表(提示：使用 srange() 使用该方法获取Sage整数列表 i.sqrtrem() )：

   sage: # edit here
   

您可以在列表理解中使用多个迭代：

sage: [ (i,j) for i in range(1,6) for j in range(1,i) ]
[(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)]

警告

注意前面表达式中嵌套循环的顺序。

如果要构建列表列表，则可以使用嵌套列表，如下所示：

sage: [ [ binomial(n, i) for i in range(n+1) ] for n in range(10) ]
[[1],
[1, 1],
[1, 2, 1],
[1, 3, 3, 1],
[1, 4, 6, 4, 1],
[1, 5, 10, 10, 5, 1],
[1, 6, 15, 20, 15, 6, 1],
[1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1],
[1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1],
[1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1]]

习题

1. 计算配对列表 (i,j) 非负整数的，使得 i 至多是 5 ， j 至多是 8 ，以及 i 和 j 是联合质数：：

   sage: # edit here
   

2. 计算相同的列表 i < j < 10 **

   sage: # edit here
   

迭代器

定义

为了构建理解，Python实际上使用了一个 iterator 。这是一个遍历一组对象的设备，每次调用 next 方法。迭代器使用圆括号构建：：

sage: it = (binomial(8, i) for i in range(9))
sage: next(it)
1

sage: next(it)
8
sage: next(it)
28
sage: next(it)
56

您可以获取尚未显示的结果列表 consumed **

sage: list(it)
[70, 56, 28, 8, 1]

要求更多元素会触发 StopIteration 例外情况：：

sage: next(it)
Traceback (most recent call last):
...
StopIteration

迭代器可以用作函数的参数。以下两个习惯用法给出了相同的结果；但是，第二个习惯用法的内存效率要高得多(对于大型示例)，因为它不会展开内存中的任何列表：

sage: sum([binomial(8, i) for i in range(9)])
256
sage: sum(binomial(8, i) for i in range(9))
256

习题

1. 计算…的总和 binom{10}{i} 对所有人来说甚至 i **

   sage: # edit here
   

2. 计算所有余素数对的乘积之和 i, j 为 i<j<10 **

   sage: # edit here
   

迭代器的典型用法

迭代器对于函数来说非常方便 all() ， any() ，以及 exists() **

sage: all([True, True, True, True])
True
sage: all([True, False, True, True])
False

sage: any([False, False, False, False])
False
sage: any([False, False, True, False])
True

让我们检查一下所有大于2的素数是否都是奇数：：

sage: all( is_odd(p) for p in range(1,100) if is_prime(p) and p>2 )
True

众所周知，如果 2^p-1 那就是质数 p 是质数：：

sage: def mersenne(p): return 2^p -1
sage: [ is_prime(p) for p in range(20) if is_prime(mersenne(p)) ]
[True, True, True, True, True, True, True]

反之亦然：：

sage: all( is_prime(mersenne(p)) for p in range(1000) if is_prime(p) )
False

在这里使用列表会慢得多：：

sage: %time all( is_prime(mersenne(p)) for p in range(1000) if is_prime(p) )    # not tested
CPU times: user 0.00 s, sys: 0.00 s, total: 0.00 s
Wall time: 0.00 s
False
sage: %time all( [ is_prime(mersenne(p)) for p in range(1000) if is_prime(p)] ) # not tested
CPU times: user 0.72 s, sys: 0.00 s, total: 0.73 s
Wall time: 0.73 s
False

您可以使用以下命令获得反例 exists() 。它有两个参数：一个迭代器和一个函数，该函数测试应该包含的属性：：

sage: exists( (p for p in range(1000) if is_prime(p)), lambda p: not is_prime(mersenne(p)) )
(True, 11)

实现这一目标的另一种方法是：

sage: counter_examples = (p for p in range(1000) if is_prime(p) and not is_prime(mersenne(p)))
sage: next(counter_examples)
11

习题

1. 建立清单 {i^3 mid -10<i<10} 。你能找到其中两个立方体吗？ u 和 v 以至于 u + v = 218 ？

   sage: # edit here
   

IterTools

顾名思义 itertools 是一个模块，它定义了几个操作迭代器的便捷工具：

sage: l = [3, 234, 12, 53, 23]
sage: [(i, l[i]) for i in range(len(l))]
[(0, 3), (1, 234), (2, 12), (3, 53), (4, 23)]

使用以下命令可以获得相同的结果 enumerate() **

sage: list(enumerate(l))
[(0, 3), (1, 234), (2, 12), (3, 53), (4, 23)]

以下是列表切片的类比：

sage: list(Permutations(3))
[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]
sage: list(Permutations(3))[1:4]
[[1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1]]

sage: import itertools
sage: list(itertools.islice(Permutations(3), 1r, 4r))
[[1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1]]

请注意，所有对 islice 必须具有类型为 int 而不是Sage整数。

函数的行为 map() 和 filter() 在Python2和Python3之间进行了更改。在Python3中，它们返回迭代器。如果要像在Python2中那样返回列表，则需要显式地将它们包装在 list() **

sage: list(map(lambda z: z.cycle_type(), Permutations(3)))
[[1, 1, 1], [2, 1], [2, 1], [3], [3], [2, 1]]

sage: list(filter(lambda z: z.has_pattern([1,2]), Permutations(3)))
[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2]]

习题

1. 定义一个迭代器用于 i -第3个素数 5<i<10 **

   sage: # edit here
   

定义新的迭代器

可以很容易地使用关键字编写新的迭代器 yield 。以下函数除了演示如何使用 yield **

sage: def f(n):
....:   for i in range(n):
....:       yield i
sage: [ u for u in f(5) ]
[0, 1, 2, 3, 4]

迭代器可以是递归的：：

sage: def words(alphabet,l):
....:    if l == 0:
....:        yield []
....:    else:
....:        for word in words(alphabet, l-1):
....:            for a in alphabet:
....:                yield word + [a]

sage: [ w for w in words(['a','b','c'], 3) ]
[['a', 'a', 'a'], ['a', 'a', 'b'], ['a', 'a', 'c'], ['a', 'b', 'a'], ['a', 'b', 'b'], ['a', 'b', 'c'], ['a', 'c', 'a'], ['a', 'c', 'b'], ['a', 'c', 'c'], ['b', 'a', 'a'], ['b', 'a', 'b'], ['b', 'a', 'c'], ['b', 'b', 'a'], ['b', 'b', 'b'], ['b', 'b', 'c'], ['b', 'c', 'a'], ['b', 'c', 'b'], ['b', 'c', 'c'], ['c', 'a', 'a'], ['c', 'a', 'b'], ['c', 'a', 'c'], ['c', 'b', 'a'], ['c', 'b', 'b'], ['c', 'b', 'c'], ['c', 'c', 'a'], ['c', 'c', 'b'], ['c', 'c', 'c']]
sage: sum(1 for w in words(['a','b','c'], 3))
27

下面是另一个递归迭代器：：

sage: def dyck_words(l):
....:     if l==0:
....:         yield ''
....:     else:
....:         for k in range(l):
....:             for w1 in dyck_words(k):
....:                 for w2 in dyck_words(l-k-1):
....:                     yield '('+w1+')'+w2

sage: list(dyck_words(4))
['()()()()',
'()()(())',
'()(())()',
'()(()())',
'()((()))',
'(())()()',
'(())(())',
'(()())()',
'((()))()',
'(()()())',
'(()(()))',
'((())())',
'((()()))',
'(((())))']

sage: sum(1 for w in dyck_words(5))
42

习题

1. 编写带有两个参数的迭代器 n ， l 循环访问小于以下整数的非递减列表的集合 n 长度的 l **

   sage: # edit here
   

标准迭代

最后，许多标准的Python和Sage对象是 iterable ；即可以遍历它们的元素：：

sage: sum( x^len(s) for s in Subsets(8) )
x^8 + 8*x^7 + 28*x^6 + 56*x^5 + 70*x^4 + 56*x^3 + 28*x^2 + 8*x + 1

sage: sum( x^p.length() for p in Permutations(3) )
x^3 + 2*x^2 + 2*x + 1

sage: factor(sum( x^p.length() for p in Permutations(3) ))
(x^2 + x + 1)*(x + 1)

sage: P = Permutations(5)
sage: all( p in P for p in P )
True

sage: for p in GL(2, 2): print(p); print("")
[1 0]
[0 1]
<BLANKLINE>
[0 1]
[1 0]
<BLANKLINE>
[0 1]
[1 1]
<BLANKLINE>
[1 1]
[0 1]
<BLANKLINE>
[1 1]
[1 0]
<BLANKLINE>
[1 0]
[1 1]
<BLANKLINE>

sage: for p in Partitions(3): print(p)
[3]
[2, 1]
[1, 1, 1]

注意无限循环：：

sage: for p in Partitions(): print(p)          # not tested

sage: for p in Primes(): print(p)              # not tested

不过，无限循环可能非常有用：

sage: exists( Primes(), lambda p: not is_prime(mersenne(p)) )
(True, 11)


sage: counter_examples = (p for p in Primes() if not is_prime(mersenne(p)))
sage: next(counter_examples)
11