李群基础¶
本节目标¶
因为我们在这里必须简短，这里并不是学习李群或李代数的地方。相反，本节的重点是概述如何有效地使用Sage进行谎言计算，并修正思想和符号。
半单群与约化群¶
如果 g in GL(n,CC) 然后 g 可能是唯一的因素 g_1 g_2 在哪里？ g_1 和 g_2 通勤，有 g_1 半单（可对角化）和 g_2 幂次（所有特征值等于1）。这是从乔丹规范形式。如果 g = g_1 然后 g 被称为 半单 如果 g = g_2 然后 g 被称为 幂次的 .
我们考虑一个谎言群 G 以及一类表示，如果一个元素 g in G 是唯一有效的。半单）在类的一个忠实表示中，则它是单幂的（resp。（半简单的）在类的每一个忠实的表示中。因此，半单或幂次的概念是内在的。示例：
具有连续表示的紧李群
具有解析表示的复解析群
上代数群 RR 用代数表示。
子群 G 被称为 幂次的 如果它是连通的并且它的所有元素都是单幂的。它被称为 环面 如果它是连通的，那么它的所有元素都是半单的。集团 G 被称为 还原的 如果它没有非平凡正规幺幂子群。例如， GL(2,CC) 是还原的，但它的子群：
不是因为它有一个正规的幂次群
群有一个唯一的最大正规幂次子群，称为 单根 ，所以它是可约的当且仅当幂根是平凡的。
一个谎言组被称为 半单 它是约化的，而且没有非平凡的正规tori。例如 GL(2,CC) 是还原的但不是半简单的，因为它有一个正常的圆环：
集团 SL(2,CC) 是半简单的。
基本群与中心¶
如果 G 是半单李群，则其中心群和基群是有限交换群。通用覆盖群 tilde G 因此是具有相同李代数的有限扩张。任何代表 G 可以重新解释为简单连接的表示 tilde G . 因此，我们不妨考虑 tilde G ，把自己局限于简单连通的群。
抛物子群与Levi子群¶
让 G 是一个还原复解析群。极大可解子群 G 被称为 Borel子群 . 所有Borel子群都是共轭的。任何子组 P 包含Borel子群的称为 抛物子群 . 我们可以写信 P 作为其极大正规幺幂子群的半直积或 单根 P 和一个约化子群 M ，这是决定要变戏法的。小组 M 被称为 列维子群 .
例子： 让 G = GL_n(CC) 让 r_1, ldots, r_k 是和为的整数 n . 然后我们可以考虑以下形式的矩阵：
在哪里？ g_i in GL(r_i,CC) . 单幂根由 g_i = I_{{r_i}} . Levi子群（确定到共轭）为：
与同构 M = GL(r_1,CC) times cdots times GL(r_k,CC) . 因此 M 是一个Levi子群。
Levi子群的概念可以推广到紧李群。因此 U(r_1) times cdots times U(r_k) 是 U(n) . 然而，对于紧李群不存在抛物子群。
卡坦类型¶
半单李群按其 卡坦类型 . Sage中既有可约的Cartan类型，也有不可约的Cartan类型。让我们从不可约类型开始。这种类型在Sage中作为一对实现 ['X', r] 其中“X”是A、B、C、D、E、F或G和 r 是一个正整数。如果“X”是“D”，那么我们必须 r > 1 如果X是 特殊类型 “E”、“F”或“G” r 仅限于少数几种可能性。例外类型包括：
['G', 2], ['F', 4], ['E', 6], ['E', 7] or ['E', 8].
单连通半单群是简单李群的直积，下表给出了这些单连通半单群。整数 r 被称为 rank ，是最大环面的维数。
以下是与经典类型相对应的李群：
紧群 |
复解析群 |
卡坦式 |
|---|---|---|
SU(r+1) |
SL(r+1,CC) |
A_r |
spin(2r+1) |
spin(2r+1,CC) |
B_r |
Sp(2r) |
Sp(2r,CC) |
C_r |
spin(2r) |
spin(2r,CC) |
D_r |
您可以创建这些Cartan类型及其Dynkin图，如下所示：
sage: ct = CartanType("D5"); ct
['D', 5]
在这里 "D5" 是的缩写 ['D',5] . 集团 spin(n) 是正交群的单连通双覆盖 SO(n) .
双卡坦类型¶
每一种卡坦类型都有一个双重的，你可以从Sage里面得到：
sage: CartanType("B4").dual()
['C', 4]
其他类型 B_r 和 C_r 对于 r > 2 在对偶与原始类型同构的意义上是自对偶的；但是，Cartan类型与其对偶的同构可能会重新标记顶点。我们可以这样看：
sage: CartanType("F4").dynkin_diagram()
O---O=>=O---O
1 2 3 4
F4
sage: CartanType("F4").dual()
['F', 4] relabelled by {1: 4, 2: 3, 3: 2, 4: 1}
sage: CartanType("F4").dual().dynkin_diagram()
O---O=>=O---O
4 3 2 1
F4 relabelled by {1: 4, 2: 3, 3: 2, 4: 1}
可约Cartan型¶
如果 G 是有限指数的李群 G_1 times G_2 在哪里 G_1 和 G_2 是正维度的李群 G 被称为 可约的 . 在本例中，的根系统 G 是根系统的不相交并 G_1 和 G_2 ，其位于权空间的环境空间的正交子空间中 G . 卡坦式的 G 是这样的 可约的 .
Sage支持可还原的Cartan类型，如下所示：
sage: RootSystem("A1xA1")
Root system of type A1xA1
sage: WeylCharacterRing("A1xA1")
The Weyl Character Ring of Type A1xA1 with Integer Ring coefficients
低维卡坦类型¶
有一些同构在低程度上发生。
卡坦式 |
组 |
等效类型 |
同构群 |
|---|---|---|---|
B_2 |
spin(5) |
C_2 |
Sp(4) |
D_3 |
spin(6) |
A_3 |
SL(4) |
D_2 |
spin(4) |
A1 times A_1 |
SL(2)times SL(2) |
B_1 |
spin(3) |
A_1 |
SL(2) |
C_1 |
Sp(2) |
A_1 |
SL(2) |
有时冗余的Cartan类型，如 D_3 和 D_2 从Cartan类型列表中排除。然而，Sage允许它们，因为排除它们会导致算法中的异常。Sage所遵循的一种更好的方法是允许冗余的Cartan类型，但是将同构显式地实现为分支规则的特殊情况。这种方法的效用可以通过考虑秩1组 SL(2) 有不同的自然权格实现取决于我们是否认为它是 SL(2) ， spin(2) 或 Sp(2) ：：
sage: RootSystem("A1").ambient_space().simple_roots()
Finite family {1: (1, -1)}
sage: RootSystem("B1").ambient_space().simple_roots()
Finite family {1: (1)}
sage: RootSystem("C1").ambient_space().simple_roots()
Finite family {1: (2)}
重新标记的卡坦类型¶
默认情况下，Sage使用Dynkin图的标签 [Bourbaki46]. 由于Dynkin，还有另一个顶点标签。大部分文献如下 [Bourbaki46], 虽然 [Kac] 跟着Dynkin。
如果您需要使用Dynkin的标签，您应该知道Sage确实支持重新标记的Cartan类型。请参阅中的文档 sage.combinat.root_system.type_relabel 更多信息。
环境空间的标准实现¶
这些实现见附录 [Bourbaki46]. 见 Root system plot tutorial 如何将它们形象化。
A型¶
对于类型 A_r 我们使用 r+1 空间环境空间。这意味着我们正在对李群建模 U(r+1) 或 GL(r+1,CC) 而不是 SU(r+1) 或 SL(r+1,CC) . 环境空间用 mathbf{{Q}}^{{r+1}} ：：
sage: RootSystem("A3").ambient_space().simple_roots()
Finite family {1: (1, -1, 0, 0), 2: (0, 1, -1, 0), 3: (0, 0, 1, -1)}
sage: RootSystem("A3").ambient_space().fundamental_weights()
Finite family {1: (1, 0, 0, 0), 2: (1, 1, 0, 0), 3: (1, 1, 1, 0)}
sage: RootSystem("A3").ambient_space().rho()
(3, 2, 1, 0)
优势权重由整数组成 r+1 -元组 lambda = (lambda_1,dots,lambda_{{r+1}}) 这样的话 lambda_1 ge dots ge lambda_{{r+1}} .
见 SL与GL 关于A型的进一步评论。
B型¶
对于剩下的经典卡坦类型 B_r ， C_r 和 D_r 我们使用 r -环境空间：
sage: RootSystem("B3").ambient_space().simple_roots()
Finite family {1: (1, -1, 0), 2: (0, 1, -1), 3: (0, 0, 1)}
sage: RootSystem("B3").ambient_space().fundamental_weights()
Finite family {1: (1, 0, 0), 2: (1, 1, 0), 3: (1/2, 1/2, 1/2)}
sage: RootSystem("B3").ambient_space().rho()
(5/2, 3/2, 1/2)
这是卡坦式的 spin(2r+1) . 最后一个基本权重 (1/2, 1/2, ..., 1/2) 是最重的 2^r 维度的 自旋表象 . 所有其他的基本表示都是通过同态 spin(2r+1) to SO(2r+1) 和是正交群的表示。
主要权重包括 r -整数元组或半整数元组 (lambda_1,dots,lambda_r) 这样的话 lambda_1 ge lambda_2 dots ge lambda_r ge 0 ，这样的差异 lambda_i - lambda_j in mathbf{{Z}} .
C型¶
sage: RootSystem("C3").ambient_space().simple_roots()
Finite family {1: (1, -1, 0), 2: (0, 1, -1), 3: (0, 0, 2)}
sage: RootSystem("C3").ambient_space().fundamental_weights()
Finite family {1: (1, 0, 0), 2: (1, 1, 0), 3: (1, 1, 1)}
sage: RootSystem("C3").ambient_space().rho()
(3, 2, 1)
这是辛群的Cartan型 Sp(2r) .
主要权重包括 r -整数元组 lambda = (lambda_1,dots,lambda_{{r+1}}) 这样的话 lambda_1 ge cdots ge lambda_r ge 0 .
D型¶
sage: RootSystem("D4").ambient_space().simple_roots()
Finite family {1: (1, -1, 0, 0), 2: (0, 1, -1, 0), 3: (0, 0, 1, -1), 4: (0, 0, 1, 1)}
sage: RootSystem("D4").ambient_space().fundamental_weights()
Finite family {1: (1, 0, 0, 0), 2: (1, 1, 0, 0), 3: (1/2, 1/2, 1/2, -1/2), 4: (1/2, 1/2, 1/2, 1/2)}
sage: RootSystem("D4").ambient_space().rho()
(3, 2, 1, 0)
这是卡坦式的 spin(2r) . 最后两个基本权重是这两个权重中的最高权重 2^{{r-1}} -维自旋表示法。
主要权重包括 r -整数元组 lambda = (lambda_1,dots,lambda_{{r+1}}) 这样的话 lambda_1 ge cdots ge lambda_{{r-1}} ge |lambda_r| .
特殊类型¶
我们让读者来研究异常类型。您可以使用Sage列出基本的主导权重和简单根。
重量和环境空间¶
让 G 是一个还原复解析群。让 T 是一个最大的圆环， Lambda = X^{{ast}} (T) 成为它的一组分析型人物。那么 T cong (CC^{{times}})^r 对某些人来说 r 和 Lambda cong ZZ^r .
例1： 让 G = hbox{{GL}}_{{r+1}} (CC) . 然后 T 是对角子群和 X^{{ast}} (T) cong ZZ^{{r+1}} .如果 lambda = (lambda_1, dots, lambda_n) 然后 lambda 具有理性特征
例2： 让 G = hbox{{SL}}_{{r+1}} (CC) . 阿盖恩 T 是对角子群，但现在如果 lambda in ZZ^{{Delta}} = {{(d, cdots, d) | d in ZZ}} subseteq ZZ^{{r+1}} 然后 prod t_i^{{lambda_i}} = det ({{bf t}})^d = 1 如此 X^{{ast}} (T) cong ZZ^{{r+1}} /ZZ^{{Delta}} cong ZZ^r .
要素 Lambda 被称为 砝码 .
如果 pi: G to GL(V) 有没有我们可以限制的陈述 pi 到 T . 那么 T 在这个限制中发生的称为 重量 pi .
G 通过共轭作用于它的李代数（the 伴随表象 ）
伴随表示的非零权重称为 根 .
这个 环境空间 属于 Lambda 是 QQ otimes Lambda .
根系统¶
正如我们所提到的， G 作用于它的复李代数 mathfrak{{g}}_{{CC}} 伴随表示法。零权重空间 mathfrak{{g}}_{{CC}}(0) 只是李代数 T 本身。其他非零权重都以重数1出现，并形成一个有趣的向量配置，称为 根系 Phi .
分区很方便 Phi 分成两组 Phi^+ 和 Phi^- 这样的话 Phi^+ 由位于超平面一侧的所有根组成。我们经常把事情安排得 G 嵌入到 GL(n,CC) 正权值对应于上三角矩阵。因此如果 alpha 是一个正根，它的权值空间 mathfrak{{g}}_{{CC}}(alpha) 被一个向量所覆盖 X_alpha ，这个特征空间的指数 G 是幂次矩阵的单参数子群。这个单参数子群是由上三角矩阵构成的。
如果 alpha 是一个不能分解为其他正根之和的正根，那么 alpha 被称为 单根 .如果 G 等级是半简单的 r 然后 r 是正根的数目。让 alpha_1, ldots, alpha_r 做这些。
Weyl集团¶
让 G 做一个复杂的分析小组。让 T 做一个最大的圆环，让 N(T) 做它的正常人。让 W = N(T)/T 成为 Weyl集团 . 它作用于 T 通过共轭；因此它作用于权重格 Lambda 以及周围的空间。环境空间允许在这个作用下不变的内积。让 (v | w) 表示这个内积。如果 alpha 是根让 r_alpha 表示在垂直于 alpha .如果 alpha = alpha_i 是一个简单的根，然后我们使用符号 s_i 表示 r_alpha .
然后 s_1, ldots, s_r 生成 W ，这是一个 考克斯特群 . 这意味着它是由元素生成的 s_i 第二级，如果 m(i,j) 顺序是 s_i s_j 然后
是一个演示。重要的功能 ell : W to ZZ 是 长度 函数，其中 ell(w) 是最短分解的长度 w 变成简单思考的产物。
双根系统¶
这个 科罗茨 是环境空间上的某些线性泛函，它们也构成了根系统。因为环境空间允许 W -不变内积 (|) ，它们可能与环境空间本身的元素标识。然后它们与根成比例，尽管如果根有不同的长度，长根对应于短根，反之亦然。与根相对应的子根 alpha 是
我们也可以用这个不变内积来描述coroots和根之间的自然配对
Dynkin图¶
Dynkin图是一个顶点与集合的单根成双射的图。我们连接与根不正交的顶点。通常两个这样的根（顶点）构成 2pi/3 ，在这种情况下，我们用一个键连接它们。偶尔他们也会 3pi/4 在这种情况下，我们用双键连接它们，或者 5pi/6 在这种情况下，我们用一个三键连接它们。如果键是单的，根的长度与周围空间内积的长度相同。在双键或三键的情况下，问题中的两个简单根的长度不同，键是从长根到短根的箭头。只有特殊群体 G_2 有三重键。
在Sage中有多种方法可以得到Dynkin图：
sage: DynkinDiagram("D5")
O 5
|
|
O---O---O---O
1 2 3 4
D5
sage: ct = CartanType("E6"); ct
['E', 6]
sage: ct.dynkin_diagram()
O 2
|
|
O---O---O---O---O
1 3 4 5 6
E6
sage: B4 = WeylCharacterRing("B4"); B4
The Weyl Character Ring of Type B4 with Integer Ring coefficients
sage: B4.dynkin_diagram()
O---O---O=>=O
1 2 3 4
B4
sage: RootSystem("G2").dynkin_diagram()
3
O=<=O
1 2
G2
卡坦矩阵¶
考虑一下自然配对 langle,rangle 在coroots和根之间，则此对的定义矩阵称为 卡坦矩阵 . 也就是说，卡坦矩阵 A = (a_{{ij}})_{{ij}} 是由
这唯一地对应于一个根系统/Dynkin图/Lie group。
我们注意到我们做了一个约定选择，相反的约定对应于对Cartan矩阵进行转置。
基本权与Weyl向量¶
有一定的重量 omega_1, ldots, omega_r 即：
如果 G 是半简单的，则这些是唯一确定的，而如果 G 是还原的但不是半简单的，我们可以方便地选择它们。
让 rho 是基本优势权重之和。如果 G 是半简单的 rho 是正根和的一半。万一 G 不是半简单的，我们已经注意到，基本权重不是完全由上面给出的内积条件决定的。如果我们做出不同的选择，那么 rho 由与所有根正交的向量改变。对于许多目的来说，这是一个无害的改变，例如Weyl字符公式。
在Sage中，这个问题只出现在Cartan类型中 A_r . 见 SL与GL .
表示和字符¶
让 T 是一个最大的圆环 Lambda = X^{{ast}} (T) 成为理性人物的群体。那么 Lambda cong ZZ^r .
回想一下 Lambda cong ZZ^r 被称为 砝码 .
Weyl集团 W = N(T)/T 作用于 T ，因此 Lambda 以及它的环境空间。
环境空间 QQ otimes X^{{ast}} (T) cong QQ^r 有一个基本领域 mathcal{{C}}^+ 为了Weyl集团 W 称为 正温室 . 重量 mathcal{{C}}^+ 被称为 占主导地位 .
然后 mathcal{{C}}^+ 由所有向量组成 (alpha | v) geq 0 对于所有的正根 alpha .
嵌入 Lambda 在里面 RR^r 并将权重视为晶格点。
如果 (pi, V) 代表权是否限制在 T ，模块 V 分解为权特征空间的直和 V(mu) 具有多重性 m (mu) 重量 mu .
有一种独特的 最高重量 lambda 关于偏序。我们有 lambda in mathcal{{C}} 和 m (lambda) = 1 .
V longleftrightarrow lambda 给出了不可约表示与权之间的双射 lambda 在里面 mathcal{{C}}^+ .
假设 G 是单连通的（或更一般地说，与一个单连通的导出群约化）每个主权 lambda 是唯一不可约表示的最高权 pi_lambda 和 lambda mapsto pi_lambda 给出了不可约表示的同构类的参数化 G 占优势的权重。
这个 性格 属于 pi_lambda 是函数 chi_lambda(g) = tr(pi_lambda(g)) . 它由上的值决定 T .如果 mathbf(z) in T 和 mu in Lambda ，让我们来写 mathbf{{z}}^mu 价值 mu 在 mathbf{{z}} . 然后角色：
有时候是这样写的
意义 e^lambda 是可以解释的，但我们可以把它看作是加性群的形象 Lambda 在它的群代数中。然后把字符看作这个环的一个元素，这个环的群代数 Lambda .
表示：示例¶
在这个例子中， G = hbox{{SL}}(3,CC) . 我们画出了一个权重最大的不可约表示的权 lambda . 阴影区域是 mathcal{{C}}^+ . lambda 是一个主导权重，并且标记的顶点是在中具有正重数的权重 V(lambda) . 外面的重量 m(mu) = 1 ，而六个内部配重（带双圆圈）有 m(mu) = 2 .
分拆与Schur多项式¶
本节的注意事项是针对类型的 A . 我们回顾了人物之间的关系 GL(n,CC) 对称函数理论。
A 分区 lambda 是降序非负整数序列：
如果两个分区只差一些尾随的零，我们就不区分它们，所以 (3, 2) = (3, 2, 0) .如果 l 最后一个整数是这样的吗 lambda_l > 0 那我们就这么说吧 l 是 长度 属于 lambda .如果 k = sum lambda_i 那我们就这么说吧 lambda 是一个 分区 属于 k 写 lambda vdash k .
长度的划分 le n=r+1 因此是一种占主导地位的重量类型 ['A',r] . 不是每一个主权都是一个分块，因为主权中的系数可能是负的。让我们说一个元素 mu = (mu_1, mu_2, cdots, mu_n) 的 ['A',r] 根晶格是 有效的 如果 mu_i ge 0 . 因此 ['A',r] 是一个长度分区 le n 在哪里 n = r+1 .
让 lambda 成为主导力量，让 chi_lambda 是…的性格 GL(n,CC) 最重的 lambda .如果 k 是我们可以考虑的任何整数 mu = (lambda_1+k,dots,lambda_n+k) 通过添加获得 k 每个条目。那么 chi_{{mu}} = det^k otimes chi_lambda . 通过选择 k 足够大，我们可以 mu 有效的。
所以不可约表示的性质 GL(n,CC) 并不是所有的字符都对应于分区，但是由分区索引的字符（有效的主导权重）足够我们写任何字符 det^{{-k}}chi_{{mu}} 在哪里？ mu 是一个分区。如果我们 k = -lambda_n 我们也可以安排最后一次进入 lambda 是零。
如果 lambda 是一个有效的主导权重，那么每一个权重出现在 chi_lambda 是有效的。（事实上，它位于 w(lambda) 在哪里？ w 通过Weyl集团 W = S_n ）这意味着如果
然后 chi_lambda(g) 是的特征值中的多项式 g . 这就是 舒尔多项式 s_lambda(z_1, ldots, z_n) .
仿射卡坦类型¶
还有仿射Cartan类型，它们对应于（无限维）仿射李代数。有仿射卡坦类型的形式 [`X`, r, 1] 如果 X=A,B,C,D,E,F,G 和 [`X`, r] 是一种普通的卡坦类型。还有 扭曲仿射类型 形式的 [X, r, k] 在哪里 k = 2 或 3 如果是普通卡坦型的Dynkin图 [X, r] 具有度的自同构 k . 什么时候？ k = 1 ，据说仿射Cartan类型是 无捻 .
说明了一些可用于非扭曲仿射Cartan类型的方法 ['A', 4, 1] ：：
sage: ct = CartanType(['A',4,1]); ct
['A', 4, 1]
sage: ct.dual()
['A', 4, 1]
sage: ct.classical()
['A', 4]
sage: ct.dynkin_diagram()
0
O-----------+
| |
| |
O---O---O---O
1 2 3 4
A4~
扭曲仿射Cartan类型是某些未扭曲Cartan类型的对偶的重新标记：
sage: CartanType(['A',3,2])
['B', 2, 1]^*
sage: CartanType(['D',4,3])
['G', 2, 1]^* relabelled by {0: 0, 1: 2, 2: 1}
仿射根与扩展的Dynkin图¶
对于扩展的Dynkin图，我们添加一个负根 alpha_0 . 对于未扭曲类型，这是在伴随表示中负权重最大的根。有时这被称为 仿射根 . 我们像以前一样通过测量根之间的角度来绘制Dynkin图。这个扩展的Dynkin图有许多用途，例如寻找最大子群和描述仿射Weyl群。
特别是反射的超平面 r_0 ，用于生成仿射Weyl群，被从原点平移（因此它成为仿射超平面）。现在根系不是欧几里德空间上的线性变换，而是 仿射的 转变。因此，主要的房间有有限的体积和瓷砖欧几里德空间。此外，每个这样的块对应于仿射Weyl群中的一个唯一元素。
扩展的Dynkin图可以作为相应的无扭仿射类型的Dynkin图得到：
sage: ct = CartanType("E6"); ct
['E', 6]
sage: ct.affine()
['E', 6, 1]
sage: ct.affine() == CartanType(['E',6,1])
True
sage: ct.affine().dynkin_diagram()
O 0
|
|
O 2
|
|
O---O---O---O---O
1 3 4 5 6
E6~
扩展的Dynkin图也是 WeylCharacterRing ：：
sage: WeylCharacterRing("E7").extended_dynkin_diagram()
O 2
|
|
O---O---O---O---O---O---O
0 1 3 4 5 6 7
E7~
我们注意到与经典案例的以下重要区别：
仿射Weyl群都是无限的。
类型 A_1^{{(1)}} 有两个具有不同反射的反平行根。本例中的Dynkin图由一个双向箭头的双键表示。
扭曲仿射根系¶
用于建造 alpha_0 在扭曲类型中，我们让读者参考 [Kac]. 如上所述，大多数扭曲类型可以通过取非扭曲类型的双根系统来构造。但是类型 A_{{2n}}^{{(2)}} 根系统只能通过中定义的扭曲过程来构建 [Kac]. 它具有以下属性：
Dynkin型图 A_2^{{(2)}} 有一个从短根指向长根的箭头的四键。
类型 A_{{2n}}^{{(2)}} 对于 n > 1 有3个不同的根长度。
进一步概括¶
如果一个根系（在欧几里德空间上）只有角 pi/2, 2pi/3, 3pi/4, 5pi/6 在它的根之间，我们称之为根系统 晶体学 （打开 :wikipedia:`Root_system` ，这个条件称为完整性，因为对于任何两个根我们都有 langle beta, alpha rangle in ZZ ). 因此，如果我们看一下由根生成的反射群（这不是Weyl群），我们就得到了一般性 :wikipedia:`Coxeter groups <Coxeter_group>` （具有非无限标号）和非晶体学Coxeter群与Lie理论无关。
然而，我们可以将Dynkin图（相当于Cartan矩阵）推广到所有边都用 (a, b) 在哪里？ a, b in ZZ_{{>0}} 相当于 a 箭头指向一个方向 b 指向另一个的箭头。例如在类型上 A_{{1}}^{{(1)}} ，我们有一个优势 (2, 2) ，或在类型中 A_{{2}}^{{(2)}} ，我们有一个优势 (1, 4) （相当于 (4, 1) ). 这些边缘标签 i 和 j 与条目相对应 a_{{ij}} 和 a_{{ji}} 在卡坦矩阵里。这些被用来构造一类（通常是无限维的）李代数，称为Kac-Moody（Lie）代数，这些李代数又被用来构造量子群。我们请读者参考 [Kac] 和 [HongKang2002] 更多信息。