模块化符号¶
模块化符号是自20世纪60年代以来由Birch、Manin、Shokorov、Mazur、Merel、Cremona和其他人开发的一个漂亮的数学作品。模符号不仅是一个强大的计算工具，正如我们将看到的，他们也被用来证明的合理性结果的特殊值 \(L\) -系列，构造 \(p\) -阿迪奇 \(L\) -它们在Merel证明数域上椭圆曲线扭点一致有界定理中起着关键作用。
我们认为模符号是一种非常灵活的计算工具，它为计算提供了单一的统一算法 \(M_k(N,\varepsilon)\) 对于任何 \(N, \varepsilon\) 和 \(k\geq 2\) . 有几种方法可以使用这些空间的计算来获得权重空间的显式基础 \(1\) 和半整数的重量，所以在某种意义上，模符号产生了一切。虽然Sage目前还没有高阶群上的模符号代码，但也有将模符号推广到更高阶群的情况。
定义¶
重量的模数符号 \(k\) ，和级别 \(N\) ，有个性 \(\varepsilon\) 是术语的总和 \(X^i Y^{{k-2-i}} \{{\alpha, \beta\}}\) 在哪里 \(0\leq i \leq k-2\) 和 \(\alpha, \beta \in \mathbb{{P}}^1(\QQ) = \QQ \cup \{{\infty\}}\) . 模符号满足这些关系
对每一个 \(\gamma=\left(\begin{{smallmatrix}}a&b\\c&d\end{{smallmatrix}}\right)\in\Gamma_0(N)\) ，我们有
模符号空间 \(\mathcal{{M}}_k(N,\varepsilon)\) 扭力是自由的吗 \(\QQ[\varepsilon]\) -模由所有模符号之和生成，模化以上所列关系。在这里 \(\QQ[\varepsilon]\) 是由字符值生成的环 \(\varepsilon\) ，所以它的形式 \(\QQ[\zeta_m]\) 对于某个整数 \(m\) .
使模符号有用的一个惊人的定理是，有一个赫克代数的作用的明确描述 \(\mathbb{{T}}\) 在 \(\mathcal{{M}}_k(N,\varepsilon)\) ，有一个同构
这意味着如果模符号是可计算的（它们是！），那么它们就可以用来计算 \(\mathbb{{T}}\) -模块 \(M_k(N,\varepsilon)\) .
曼宁符号¶
定义¶
尽管如此 \(\mathcal{{M}}_k(N,\varepsilon)\) 如上所述，不是由有限多个元素显式生成的，而是有限生成的。Manin，Shokoruv和Merel给出了这个空间中有限多个生成器（Manin符号）的明确描述，以及这些生成器满足的所有显式关系（见我的书）。特别是如果我们让
在哪里？ \(\gamma=\left(\begin{{smallmatrix}}a&b\\c&d\end{{smallmatrix}}\right)\) ，然后是曼宁符号 \((i,c,d)\) 具有 \(0\leq i \leq k-2\) 和 \((c,d)\in\mathbb{{P}}^1(N)\) 生成 \(\mathcal{{M}}_k(N,\varepsilon)\) .
Sage中的计算¶
我们计算重量空间的基础 \(4\) 模块符号 \(\Gamma_0(11)\) ，然后胁迫进来 \((2,0,1)\) 和 \((1,1,3)\) .
sage: M = ModularSymbols(11,4)
sage: M.basis()
([X^2,(0,1)], [X^2,(1,6)], [X^2,(1,7)], [X^2,(1,8)],
[X^2,(1,9)], [X^2,(1,10)])
sage: M( (2,0,1) )
[X^2,(0,1)]
sage: M( (1,1,3) )
2/7*[X^2,(1,6)] + 1/14*[X^2,(1,7)] - 4/7*[X^2,(1,8)]
+ 3/14*[X^2,(1,10)]
我们计算了Manin符号的模符号表示 \((2,1,6)\) ，并通过转换回原处进行验证。
sage: a = M.1; a
[X^2,(1,6)]
sage: a.modular_symbol_rep()
36*X^2*{-1/6, 0} + 12*X*Y*{-1/6, 0} + Y^2*{-1/6, 0}
sage: 36*M([2,-1/6,0]) + 12*M([1,-1/6,0]) + M([0,-1/6,0])
[X^2,(1,6)]