模阿贝尔变种

扩展上半平面的商 \(\mathfrak{{h}}^*\) 同余子群 \(\Gamma_1(N)\) 是模数曲线 \(X_1(N)\) . 它是雅可比 \(J_1(N)\) 是一个规范定义的交换变种 \(\QQ\) . 同样，我们定义了模交换簇 \(J_0(N)\) 关联到 \(\Gamma_0(N)\) .

模交换簇是交换簇上的交换簇 \(\QQ\) 那是一个商 \(J_1(N)\) 对某些人来说 \(N\) .

最近数论中最大的定理是Khare和Wintenberger对Serre猜想的证明。根据Ribet和Serre的一个论点，这意味着下面的模性定理，它推广了Taylor Wiles在证明Fermat最后一个定理的过程中所证明的模性定理。

我的长期研究目标之一是发展一个用模交换变种进行计算的系统理论。一个好的开始是使用Abel-Jacobi定理观察到每个模Abel变体（直到同构）都可以通过在模符号空间中给出一个格来指定。

Sage中的计算

我们定义了一些模交换的能级变种 \(39\) ，并计算一些基本的不变量。

sage: D = J0(39).decomposition(); D
[
Simple abelian subvariety 39a(1,39) of dimension 1 of J0(39),
Simple abelian subvariety 39b(1,39) of dimension 2 of J0(39)
]
sage: D[1].lattice()
Free module of degree 6 and rank 4 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[ 1  0  0  1 -1  0]
[ 0  1  1  0 -1  0]
[ 0  0  2  0 -1  0]
[ 0  0  0  0  0  1]
sage: G = D[1].rational_torsion_subgroup(); G
Torsion subgroup of Simple abelian subvariety 39b(1,39)
of dimension 2 of J0(39)
sage: G.order()
28
sage: G.gens()
[[(1/14, 2/7, 0, 1/14, -3/14, 1/7)], [(0, 1, 0, 0, -1/2, 0)],
 [(0, 0, 1, 0, -1/2, 0)]]
sage: B, phi = D[1]/G
sage: B
Abelian variety factor of dimension 2 of J0(39)
sage: phi.kernel()
(Finite subgroup with invariants [2, 14] ...

自同态

Sage中有一个算法可以计算任意模交换簇的精确自同态环。

sage: A = J0(91)[2]; A
Simple abelian subvariety 91c(1,91) of dimension 2 of J0(91)
sage: R = End(A); R
Endomorphism ring of Simple abelian subvariety 91c(1,91)
of dimension 2 of J0(91)
sage: for x in R.gens():
....:     print(x.matrix())
....:     print("")
[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
<BLANKLINE>
[ 0  4 -2  0]
[-1  5 -2  1]
[-1  2  0  2]
[-1  1  0  3]

也可以检验两个模交换变种的同构。但仍有许多令人兴奋的理论和计算工作要做。