测地计算

介绍

考虑一个具有赤道半径的旋转椭球 \(a\) ,极半轴 \(b\) ,并变平 \(f=(a-b)/a\) . 椭球表面上的点以它们的纬度为特征 \(\phi\) 经度 \(\lambda\) . (注意这里的纬度是指 地理纬度 ,椭球体法线与赤道面之间的角度)。

椭球体上两点间的最短路径 \((\phi_1,\lambda_1)\)\((\phi_2,\lambda_2)\) 称为测地线。它的长度是 \(s_{{12}}\) 从点1到点2的测地线具有正方位角 \(\alpha_1\)\(\alpha_2\) 在两个端点。在这个数字中,我们有 \(\lambda_{{12}}=\lambda_2-\lambda_1\) .

Figure from wikipedia

通过要求任何足够小的线段是最短路径,测地线可以无限延伸;测地线也是曲面上最直的曲线。

测地线问题的求解

传统上考虑两个测地线问题:

  • 直接问题-给定 \(\phi_1\)\(\lambda_1\)\(\alpha_1\)\(s_{{12}}\) ,确定 \(\phi_2\)\(\lambda_2\)\(\alpha_2\) .

  • 反问题-给定 \(\phi_1\)\(\lambda_1\)\(\phi_2\)\(\lambda_2\) ,确定 \(s_{{12}}\)\(\alpha_1\)\(\alpha_2\) .

项目合并 C library for GeodesicsGeographicLib . 该库提供了求解正、逆测地问题的例程。如果 \(\lvert f\rvert<\frac1{{50}}\) . 参考

完整文档。测地线(3)中给出了例程的简要总结。

测地例程的接口在两个方面与项目的其余部分不同:

  • 角度(纬度、经度和方位角)以度(而不是弧度)为单位;

  • 椭球体的形状由压扁度指定 \(f\) ;这可以是负数以表示长椭球;设置 \(f=0\) 对应于一个球体,在这种情况下,测地线变成一个大圆。

PROJ还包括一个命令行工具, 格奥德 (1),用于执行简单的测地计算。

其他属性

这些例程还计算其他几个感兴趣的量

  • \(S_{{12}}\) 是从点1到点2的测地线与赤道之间的面积;即逆时针测量的带角四边形的面积 \((\phi_1,\lambda_1)\)\((0,\lambda_1)\)\((0,\lambda_2)\)\((\phi_2,\lambda_2)\) . 以米为单位2 .

  • \(m_{{12}}\) 当初始方位角受到 \(d\alpha_1\) (弧度)然后第二个点被 \(m_{{12}}\,d\alpha_1\) 在垂直于测地线的方向上。 \(m_{{12}}\) 以米为单位。在曲面上,缩减长度服从对称关系, \(m_{{12}}+m_{{21}}=0\) . 在平面上,我们有 \(m_{{12}}=s_{{12}}\) .

  • \(M_{{12}}\)\(M_{{21}}\) 是测地尺度。如果两条测地线在点1处平行并相隔一小段距离 \(dt\) ,然后它们被一段距离隔开 \(M_{{12}}\,dt\) 在第2点。 \(M_{{21}}\) 定义类似(测地线在点2处彼此平行)。 \(M_{{12}}\)\(M_{{21}}\) 是无量纲量。在平面上,我们有 \(M_{{12}}=M_{{21}}=1\) .

  • \(\sigma_{{12}}\) 辅助球面上的弧长。这是一个将问题转化为球面三角问题的构造。从一个赤道交叉点到下一个赤道交叉点的球面弧长度总是 \(180^\circ\) .

如果点1、2和3位于单个测地线上,则以下加法规则适用:

  • \(s_{{13}}=s_{{12}}+s_{{23}}\)

  • \(\sigma_{{13}}=\sigma_{{12}}+\sigma_{{23}}\)

  • \(S_{{13}}=S_{{12}}+S_{{23}}\)

  • \(m_{{13}}=m_{{12}}M_{{23}}+m_{{23}}M_{{21}}\)

  • \(M_{{13}}=M_{{12}}M_{{23}}-(1-M_{{12}}M_{{21}})m_{{23}}/m_{{12}}\)

  • \(M_{{31}}=M_{{32}}M_{{21}}-(1-M_{{23}}M_{{32}})m_{{12}}/m_{{23}}\) .

多条最短测地线

通过求解反问题找到的最短距离(显然)是唯一定义的。然而,在一些特殊情况下,有多个方位角产生相同的最短距离。以下是这些案例的目录:

  • \(\phi_1=-\phi_2\) (两个点都不在杆子上)。如果 \(\alpha_1=\alpha_2\) ,测地线是唯一的。否则有两条测地线,第二条测地线通过设置 \([\alpha_1,\alpha_2]\leftarrow[\alpha_2,\alpha_1]\)\([M_{{12}},M_{{21}}]\leftarrow[M_{{21}},M_{{12}}]\)\(S_{{12}}\leftarrow-S_{{12}}\) . (这发生在经度差接近时 \(\pm180^\circ\) 对于扁椭球体。)

  • \(\lambda_2=\lambda_1\pm180^\circ\) (两个点都不在杆子上)。如果 \(\alpha_1=0^\circ\)\(\pm180^\circ\) ,测地线是唯一的。否则有两条测地线,第二条测地线通过设置 \([\alpha_1,\alpha_2]\leftarrow[-\alpha_1,-\alpha_2]\)\(S_{{12}}\leftarrow-S_{{12}}\) . (当 \(\phi_2\) 就在附近 \(-\phi_1\) 对于长椭球体。)

  • 点1和点2在相反的极点。通过设置可以生成无限多条测地线 \([\alpha_1,\alpha_2]\leftarrow[\alpha_1,\alpha_2]+[\delta,-\delta]\) ,用于任意 \(\delta\) . (对于球体,当第1点和第2点是反足的时,此处方适用。)

  • \(s_{{12}}=0\) (重合点)。通过设置可以生成无限多条测地线 \([\alpha_1,\alpha_2]\leftarrow[\alpha_1,\alpha_2]+[\delta,\delta]\) ,用于任意 \(\delta\) .

背景

The algorithms implemented by this package are given in [Karney2013] (addenda) and are based on [Bessel1825] and [Helmert1880]; the algorithm for areas is based on [Danielsen1989]. These improve on the work of [Vincenty1975] in the following respects:

  • 结果精确到地球椭球体的四舍五入(距离误差小于15纳米,而文森蒂的误差为0.1毫米)。

  • 反问题的解总是可以找到的。(Vincenty的方法无法收敛到几乎相反的点。)

  • 这些例程计算测地线的微分和积分性质。例如,这允许计算测地多边形的面积。

附加的背景资料提供了地理的CLIB的 geodesic bibliography ,维基百科的文章“ Geodesics on an ellipsoid", and [Karney2011] (errata) .