多项式

在本节中，我们将说明如何在Sage中创建和使用多项式。

一元多项式

有三种方法可以创建多项式环。

sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
sage: R
Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field

这将创建一个多项式环，并告诉Sage在打印到屏幕时使用(字符串)‘t’作为不定数。但是，这并不定义符号 t 在Sage中使用，因此不能使用它输入多项式(例如 \(t^2+1\) )属于 R 。

另一种方法是

sage: S = QQ['t']
sage: S == R
True

这也有同样的问题，关于 t 。

第三种非常方便的方法是

sage: R.<t> = PolynomialRing(QQ)

或

sage: R.<t> = QQ['t']

甚至是

sage: R.<t> = QQ[]

这还有一个额外的副作用，即它定义了变量 t 是多项式环的不定的，所以你可以很容易地构造元素 R ，如下所示。(请注意，第三种方法非常类似于Magma中的构造函数表示法，就像在Magma中一样，它可以用于广泛的对象。)

sage: poly = (t+1) * (t+2); poly
t^2 + 3*t + 2
sage: poly in R
True

无论使用哪种方法来定义多项式环，都可以将不定环恢复为 \(0^{th}\) 发电机：

sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
sage: t = R.0
sage: t in R
True

请注意，类似的构造适用于复数：复数可以被视为由符号在实数上生成 i ；因此，我们有以下情况：

sage: CC
Complex Field with 53 bits of precision
sage: CC.0  # 0th generator of CC
1.00000000000000*I

对于多项式环，您可以在环创建过程中获取环及其生成器，或仅获取生成器，如下所示：

sage: R, t = QQ['t'].objgen()
sage: t    = QQ['t'].gen()
sage: R, t = objgen(QQ['t'])
sage: t    = gen(QQ['t'])

最后，我们做了一些运算 \(\QQ[t]\) 。

sage: R, t = QQ['t'].objgen()
sage: f = 2*t^7 + 3*t^2 - 15/19
sage: f^2
4*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361
sage: cyclo = R.cyclotomic_polynomial(7); cyclo
t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1
sage: g = 7 * cyclo * t^5 * (t^5 + 10*t + 2)
sage: g
7*t^16 + 7*t^15 + 7*t^14 + 7*t^13 + 77*t^12 + 91*t^11 + 91*t^10 + 84*t^9
       + 84*t^8 + 84*t^7 + 84*t^6 + 14*t^5
sage: F = factor(g); F
(7) * t^5 * (t^5 + 10*t + 2) * (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)
sage: F.unit()
7
sage: list(F)
[(t, 5), (t^5 + 10*t + 2, 1), (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1, 1)]

请注意，因式分解正确地考虑并记录了单位部分。

如果您要使用，例如 R.cyclotomic_polynomial 对于一些研究项目，除了引用Sage之外，您还应该尝试找出Sage的哪个组成部分被用于实际计算割圆多项式，并引用这一点。在本例中，如果您键入 R.cyclotomic_polynomial?? 要查看源代码，您将很快看到一行代码 f = pari.polcyclo(n) 这意味着Pari被用于计算割圆多项式。在你的工作中也要引用Pari。

将两个多项式相除构成了分数域的一个元素(由Sage自动创建)。

sage: x = QQ['x'].0
sage: f = x^3 + 1; g = x^2 - 17
sage: h = f/g;  h
(x^3 + 1)/(x^2 - 17)
sage: h.parent()
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field

利用劳伦级数，可以计算分数域上的级数展开式 QQ[x] ：

sage: R.<x> = LaurentSeriesRing(QQ); R
Laurent Series Ring in x over Rational Field
sage: 1/(1-x) + O(x^10)
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + O(x^10)

如果我们用不同的变量命名，我们得到一个不同的单变量多项式环。

sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)
sage: S.<y> = PolynomialRing(QQ)
sage: x == y
False
sage: R == S
False
sage: R(y)
x
sage: R(y^2 - 17)
x^2 - 17

环由变量决定。注意，使用名为的变量制作另一个环 x 不会返回不同的振铃。

sage: R = PolynomialRing(QQ, "x")
sage: T = PolynomialRing(QQ, "x")
sage: R == T
True
sage: R is T
True
sage: R.0 == T.0
True

Sage还支持POWER系列和Laurent系列环覆盖任何底座环。在下面的示例中，我们创建 \(\GF{7}[[T]]\) 并除以创建一个元素 \(\GF{7}((T))\) 。

sage: R.<T> = PowerSeriesRing(GF(7)); R
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7
sage: f = T  + 3*T^2 + T^3 + O(T^4)
sage: f^3
T^3 + 2*T^4 + 2*T^5 + O(T^6)
sage: 1/f
T^-1 + 4 + T + O(T^2)
sage: parent(1/f)
Laurent Series Ring in T over Finite Field of size 7

您还可以使用双括号速记来创建幂系列环：

sage: GF(7)[['T']]
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7

多元多项式

为了处理多个变量的多项式，我们首先声明多项式环和变量。

sage: R = PolynomialRing(GF(5),3,"z") # here, 3 = number of variables
sage: R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5

就像定义一元多项式环一样，还有其他方法：

sage: GF(5)['z0, z1, z2']
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
sage: R.<z0,z1,z2> = GF(5)[]; R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5

此外，如果您希望变量名称是单个字母，则可以使用以下速记形式：

sage: PolynomialRing(GF(5), 3, 'xyz')
Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Finite Field of size 5

接下来，让我们来做一些算术。

sage: z = GF(5)['z0, z1, z2'].gens()
sage: z
(z0, z1, z2)
sage: (z[0]+z[1]+z[2])^2
z0^2 + 2*z0*z1 + z1^2 + 2*z0*z2 + 2*z1*z2 + z2^2

您还可以使用更多的数学符号来构造多项式环。

sage: R = GF(5)['x,y,z']
sage: x,y,z = R.gens()
sage: QQ['x']
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
sage: QQ['x,y'].gens()
(x, y)
sage: QQ['x'].objgens()
(Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field, (x,))

多元多项式是在Sage中使用Python字典和多项式的“分布表示法”实现的。Sage使用了一些单数 [Si], 例如，用于计算理想的GCD基和Gröbner基。

sage: R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), 2, 'xy').objgens()
sage: f = (x^3 + 2*y^2*x)^2
sage: g = x^2*y^2
sage: f.gcd(g)
x^2

接下来，我们创造出理想的 \((f,g)\) 生成者 \(f\) 和 \(g\) ，通过简单地乘以 (f,g) 通过 R (我们也可以写 ideal([f,g]) 或 ideal(f,g) )。

sage: I = (f, g)*R; I
Ideal (x^6 + 4*x^4*y^2 + 4*x^2*y^4, x^2*y^2) of Multivariate Polynomial
Ring in x, y over Rational Field
sage: B = I.groebner_basis(); B
[x^6, x^2*y^2]
sage: x^2 in I
False

顺便说一句，上面的Gröbner基不是一个列表，而是一个不变的序列。这意味着它有一个宇宙，父，并且不能改变(这是好的，因为改变基会破坏使用Gröbner基的其他例程)。

sage: B.universe()
Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
sage: B[1] = x
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.

在Sage中有一些(阅读：不像我们希望的那么多)交换代数，通过单数实现。例如，我们可以计算的主分解和相关的素数 \(I\) ：

sage: I.primary_decomposition()
[Ideal (x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
 Ideal (y^2, x^6) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]
sage: I.associated_primes()
[Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
 Ideal (y, x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]