Weyl群、Coxeter群和Bruhat序¶
经典和仿射Weyl群¶
您可以为任何根系统创建Weyl组和仿射Weyl组。有多种方法可供选择。其中一些方法适用于一般的Coxeter群体。
默认情况下，Weyl组的元素表示为矩阵：
sage: WeylGroup("A3").simple_reflection(1)
[0 1 0 0]
[1 0 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]
您可能更喜欢一种表示法，其中元素被写成简单反射的产物。为了实现这一点，您需要指定一个前缀，通常 "s" ：：
sage: W = WeylGroup("A3",prefix="s")
sage: [s1,s2,s3] = W.simple_reflections()
sage: (s1*s2*s1).length()
3
sage: W.long_element()
s1*s2*s3*s1*s2*s1
sage: s1*s2*s3*s1*s2*s1 == s3*s2*s1*s3*s2*s3
True
Weyl群作用于根晶格的周围空间，通过该方法可以访问 domain . 为了说明这一点，回想一下如果 w_0 是长元素吗 alpha mapsto -w_0(alpha) 是简单根的排列。我们可以这样计算：
sage: W = WeylGroup("E6",prefix="s")
sage: w0 = W.long_element(); w0
s1*s3*s4*s5*s6*s2*s4*s5*s3*s4*s1*s3*s2*s4*s5*s6*s2*s4*s5*s3*s4*s1*s3*s2*s4*s5*s3*s4*s1*s3*s2*s4*s1*s3*s2*s1
sage: sr = W.domain().simple_roots().list(); sr
[(1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, 1/2), (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
(-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0),
(0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0)]
sage: [-w0.action(a) for a in sr]
[(0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0),
(0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
(1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, 1/2)]
我们可能会问这种排列何时无关紧要。如果它是非平凡的，它诱导了Dynkin图的一个自同构，因此当Dynkin图没有自同构时，它一定是非平凡的。但是，如果存在一个非平凡的自同构，那么置换可能是也可能不是微不足道的：
sage: def roots_not_permuted(ct):
....: W = WeylGroup(ct)
....: w0 = W.long_element()
....: sr = W.domain().simple_roots()
....: return all(a == -w0.action(a) for a in sr)
sage: for ct in [CartanType(['D', r]) for r in [2..8]]:
....: print("{} {}".format(ct, roots_not_permuted(ct)))
['D', 2] True
['D', 3] False
['D', 4] True
['D', 5] False
['D', 6] True
['D', 7] False
['D', 8] True
如果 alpha 是根让 r_alpha 表示在与之正交的超平面上的反射 alpha . 我们保留批注 s_alpha 对于简单的反射，也就是说 alpha 是一个简单的根。反射只是简单反射的共轭。
反射是有限族中的值，它是python字典的包装器。键是正根，所以给定一个正根，就可以查找相应的反射。如果您想要一个所有反射的列表，您可以使用通常的方法来构造一个列表（例如，使用 list 函数）或使用方法 values 对于反射系：
sage: W = WeylGroup("B3",prefix="s")
sage: ref = W.reflections(); ref
Finite family {(1, -1, 0): s1, (0, 1, -1): s2, ...}
sage: [a1,a2,a3] = W.domain().simple_roots()
sage: a1+a2+a3
(1, 0, 0)
sage: ref[a1+a2+a3]
s1*s2*s3*s2*s1
sage: sorted(ref)
[s1*s2*s3*s2*s1,
s2*s3*s1*s2*s3*s1*s2,
s3*s1*s2*s3*s1,
s1*s2*s1,
s1,
s2*s3*s2,
s3*s2*s3,
s2,
s3]
如果您想要一个其键为反射且值为根的族，则可以使用反向族：
sage: from pprint import pprint
sage: W = WeylGroup("B3",prefix="s")
sage: [s1,s2,s3] = W.simple_reflections()
sage: altref = W.reflections().inverse_family()
sage: altref
Finite family {s1*s2*s3*s2*s1: (1, 0, 0),
s2*s3*s1*s2*s3*s1*s2: (1, 1, 0),
s3*s1*s2*s3*s1: (1, 0, 1),
s1*s2*s1: (1, 0, -1),
s1: (1, -1, 0),
s2*s3*s2: (0, 1, 0),
s3*s2*s3: (0, 1, 1),
s2: (0, 1, -1),
s3: (0, 0, 1)}
sage: altref[s3*s2*s3]
(0, 1, 1)
注解
这个函数的行为在 :trac:`20027` .
Weyl群被实现为一个间隙矩阵群。因此，可以显示其字符表。字符表以字符串形式返回，您可以打印：
sage: print(WeylGroup("D4").character_table())
CT1
<BLANKLINE>
2 6 4 5 1 3 5 5 4 3 3 1 4 6
3 1 . . 1 . . . . . . 1 . 1
<BLANKLINE>
1a 2a 2b 6a 4a 2c 2d 2e 4b 4c 3a 4d 2f
<BLANKLINE>
X.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1
X.3 2 . 2 -1 . 2 2 . . . -1 2 2
X.4 3 -1 -1 . 1 -1 3 -1 1 -1 . -1 3
X.5 3 -1 -1 . 1 3 -1 -1 -1 1 . -1 3
X.6 3 1 -1 . -1 -1 3 1 -1 1 . -1 3
X.7 3 1 -1 . -1 3 -1 1 1 -1 . -1 3
X.8 3 -1 3 . -1 -1 -1 -1 1 1 . -1 3
X.9 3 1 3 . 1 -1 -1 1 -1 -1 . -1 3
X.10 4 -2 . -1 . . . 2 . . 1 . -4
X.11 4 2 . -1 . . . -2 . . 1 . -4
X.12 6 . -2 . . -2 -2 . . . . 2 6
X.13 8 . . 1 . . . . . . -1 . -8
仿射Weyl群¶
仿射Weyl群可以用同样的方法创建。您只需从仿射Cartan类型开始：
sage: W = WeylGroup(['A',2,1],prefix="s")
sage: W.cardinality()
+Infinity
sage: [s0,s1,s2] = W.simple_reflections()
sage: s0*s1*s2*s1*s0
s0*s1*s2*s1*s0
仿射Weyl群与经典的Weyl群不同，因为它是无限的。关联的经典Weyl群是一个子群，可以提取如下：
sage: W = WeylGroup(['A',2,1],prefix="s")
sage: W1 = W.classical(); W1
Parabolic Subgroup of the Weyl Group of type ['A', 2, 1] (as a matrix group
acting on the root space)
sage: W1.simple_reflections()
Finite family {1: s1, 2: s2}
虽然 W1 在这个例子中是同构的 WeylGroup("A2") 它有不同的矩阵实现：
sage: for s in WeylGroup(['A',2,1]).classical().simple_reflections():
....: print(s)
....: print("")
[ 1 0 0]
[ 1 -1 1]
[ 0 0 1]
<BLANKLINE>
[ 1 0 0]
[ 0 1 0]
[ 1 1 -1]
sage: for s in WeylGroup(['A',2]).simple_reflections():
....: print(s)
....: print("")
[0 1 0]
[1 0 0]
[0 0 1]
<BLANKLINE>
[1 0 0]
[0 0 1]
[0 1 0]
布鲁哈秩序¶
Weyl群上的Bruhat偏序可以定义如下。
如果 u,v in W ，找到 v 简单思考的产物： v = s_1 cdots s_n . （不假定 s_i 如果省略一些 s_i 给出一个代表 u 然后 u le v .
Bruhat阶作为Coxeter群的一种方法在Sage中实现，因此它适用于Weyl群，经典的或仿射的。
如果 u ， v in W 然后 u.bruhat_le(v) 收益率 True 如果 u le v 以布鲁哈秩序。
如果 u le v 然后 Bruhat间期 [u,v] 被定义为 t 这样的话 u le t le v . 可以尝试如下实现：
sage: W = WeylGroup("A2",prefix="s")
sage: [s1,s2] = W.simple_reflections()
sage: def bi(u,v) : return [t for t in W if u.bruhat_le(t) and t.bruhat_le(v)]
...
sage: bi(s1,s1*s2*s1)
[s1*s2, s2*s1, s1, s1*s2*s1]
这不是一个好的定义，因为如果 W 是仿射的，效率低下 W 很大。Sage有一个Bruhat区间方法：
sage: W = WeylGroup("A2",prefix="s")
sage: [s1,s2] = W.simple_reflections()
sage: W.bruhat_interval(s1,s1*s2*s1)
[s1*s2*s1, s2*s1, s1*s2, s1]
这甚至适用于仿射Weyl群。
Bruhat图¶
参考文献：
这个 Bruhat图 是Bruhat区间上的一个结构。假设如此 u le v . 图的顶点是 x 具有 u le x le v . 有一个顶点 x,y in [x,y] 如果 x = y cdot r 在哪里？ r 是一种反映。如果这是真的，那么 x < y 或 y < x .
如果 W 是一个经典的Weyl群，Bruhat图在Sage中实现：
sage: W = WeylGroup("A3",prefix="s")
sage: [s1,s2,s3] = W.simple_reflections()
sage: bg = W.bruhat_graph(s2,s2*s1*s3*s2); bg
Digraph on 10 vertices
sage: bg.show3d()
Bruhat图具有有趣的正则性，Carrell和Peterson研究了这些性质。如果两个Kazhdan-Lusztig多项式都是正则图 P_{{u,v}} 和 P_{{w_0v,w_0u}} 是1，在哪里 w_0 是长Weyl群元素。它与 迪奥哈尔猜想 迪奥达尔、卡雷尔和彼得森、代尔和波罗证明了这一点。
迪奥达尔证明了如果 u < v 然后是Bruhat间期 [u,v] 包含奇数长度的元素和偶数长度的元素一样多。我们观察到，这一点通常可以得到加强：如果存在反射 r 左（或右）乘 r 以Bruhat间隔 [u,v] 对于它本身，这就给出了在中奇偶长度元素之间的显式双射 [u,v] .
让我们寻找这样的反思。将以下命令放入文件并加载该文件：
W = WeylGroup("A3",prefix="s")
[s1,s2,s3] = W.simple_reflections()
ref = W.reflections().keys()
def find_reflection(u,v):
bi = W.bruhat_interval(u,v)
ret = []
for r in ref:
if all( r*x in bi for x in bi):
ret.append(r)
return ret
for v in W:
for u in W.bruhat_interval(1,v):
if u != v:
print((u,v,find_reflection(u,v)))
这表明Bruhat区间是由所有对的反射而稳定的 (u,v) 具有 u < v 除了以下两项： s_3s_1,s_1s_2s_3s_2s_1 和 s_2,s_2s_3s_1s_2 . 现在这些正是对，这样 uprec v 以Kazhdan和Lusztig的符号表示 l(v)-l(u) > 1 . 我们不应轻率地假设这是对对的一般特征 (u,v) 因此没有反射稳定Bruhat区间，因为这不是真的。不过，这确实表明，这个问题值得进一步调查。