Iwahori-Hecke代数

这个 Iwahori Hecke algebra 定义在 [Iwahori1964]. 在那篇原始论文中，代数是函数的卷积环 p -由Iwahori子群紧支撑且左右不变的adic群。然而，Iwahori根据生成元和关系确定了它的结构，结果证明它是仿射Weyl群的群代数的变形。

一旦找到了表示，就可以为任何Coxeter群定义Iwahori-Hecke代数。它取决于一个参数 q 这在Iwahori的论文中是剩余场的基数。但它也可能是一个不确定的问题。

然后Iwahori-Hecke代数有以下描述。让 W 成为一个科克斯特集团，有发电机（简单反射） s_1,dots,s_n . 他们满足了关系 s_i^2 = 1 以及辫子关系

\[s_i s_j s_i s_j s_j s_j s_i s_i s_j s_i s_j s_i s_j s_i s_j s_i s_j s_j s_j s_j s_j s_i s_\]

其中每边的项数是 s_i s_j .

Iwahori-Hecke代数有一个基础 T_1,dots,T_n 受类似于 s_i . 它们满足辫子关系和二次关系

\[（T_i-q）（T_i+1）=0。\]

可以通过让 q_1 和 q_2 是两个独立的

\[（T_i-q_1）（T_i-q_2）=0。\]

在这种普遍性中，Iwahori-Hecke代数的意义远远超出了它们在表象理论中的起源 p -adic集团。例如，它们出现在舒伯特变种的几何学中，在那里它们被用于定义Kazhdan-Lusztig多项式。它们与量子群有关，也出现在琼斯关于琼斯多项式的原始论文中。

下面是如何创建Iwahori-Hecke代数（在 T 依据）：：

sage: R.<q> = PolynomialRing(ZZ)
sage: H = IwahoriHeckeAlgebra("B3",q)
sage: T = H.T(); T
Iwahori-Hecke algebra of type B3 in q,-1 over Univariate Polynomial Ring
 in q over Integer Ring in the T-basis
sage: T1,T2,T3 = T.algebra_generators()
sage: T1*T1
(q-1)*T[1] + q

如果Cartan类型是仿射类型，则生成器将从开始编号 T0 而不是 T1 .

你可以把Weyl群元素转换成Iwahori-Hecke代数：

sage: W = WeylGroup("G2",prefix="s")
sage: [s1,s2] = W.simple_reflections()
sage: P.<q> = LaurentPolynomialRing(QQ)
sage: H = IwahoriHeckeAlgebra("G2",q)
sage: T = H.T()
sage: T(s1*s2)
T[1,2]