基本晶体

注解

这些晶体中的每一个都将与任何Cartan矩阵输入一起工作（与给定的Cartan矩阵相对应的权重晶格）。

T-晶体

让 lambda 成为一个砝码。定义见 [Kashiwara1993] （另请参见， [Kashiwara1995]) 水晶 T_{{lambda}} = {{ t_{{lambda}} }} 是一种单元素晶体，其晶体结构由

\[mathrm{wt}（t}lambda）=lambda，quad eu i t{lambda}=f_i t{lambda}=0，quadvarepsilon_i（t{lambda}）=varphi_i（t{lambda}）=-infty。\]

水晶 T_{{lambda}} 移动水晶中顶点的权重 B 通过 lambda 当紧张时 B ，但仍保留 B 不变。也就是说，对所有人来说 b in B ，我们有 mathrm{{wt}}(t_lambda otimes b) = mathrm{{wt}}(b) + lambda ：：

sage: B = crystals.Tableaux(['A',2],shape=[2,1])
sage: T = crystals.elementary.T(['A',2], B.Lambda()[1] + B.Lambda()[2])
sage: V = crystals.TensorProduct(T,B)
sage: for x in V:
....:     print(x.weight())
....:
(4, 2, 0)
(3, 3, 0)
(3, 2, 1)
(3, 1, 2)
(2, 2, 2)
(4, 1, 1)
(3, 2, 1)
(2, 3, 1)
sage: for x in B:
....:     print(x.weight() + T[0].weight())
....:
(4, 2, 0)
(3, 3, 0)
(3, 2, 1)
(3, 1, 2)
(2, 2, 2)
(4, 1, 1)
(3, 2, 1)
(2, 3, 1)

警告

Sage使用与Kashiwara定义相反的张量积规则，因此在将这里的例子与Kashiwara的论文进行比较时必须小心。

下面是一个使用双曲Cartan矩阵的示例：

sage: A = CartanMatrix([[2,-4],[-4,2]])
sage: La = RootSystem(A).weight_lattice().fundamental_weights()
sage: La
Finite family {0: Lambda[0], 1: Lambda[1]}
sage: T = crystals.elementary.T(A,La[1])
sage: T
The T crystal of type [ 2 -4]
[-4  2] and weight Lambda[1]

C-晶体

定义在 [Kashiwara1993], 成分晶体 C = {{c}} 是指其晶体结构由

\[mathrm{wt}（c）=0，quad e_i c=f_i c=0，quadvarepsilon_i（c）=varphi_i（c）=0。\]

注意 C cong B(0) 在哪里 B(0) 是重量最高的晶体 0 .

水晶 C otimes T_mu 当在不可还原的最高重量晶体中发现亚晶体时，是有用的 B(lambda) 在哪里？ lambda 大于 mu 按字典顺序排列。例如：：

sage: P = RootSystem("C2").weight_lattice()
sage: La = P.fundamental_weights()
sage: h = P.simple_coroots()
sage: T = crystals.elementary.T("C2", 2*La[1])
sage: C = crystals.elementary.Component(P)
sage: B = crystals.TensorProduct(C,T)
sage: b = B(C[0],T[0])
sage: for i in B.index_set(): print(b.epsilon(i))
-2
0
sage: for i in B.index_set(): print(b.phi(i))
0
0
sage: for i in B.index_set(): print(b.f(i))
None
None
sage: for i in B.index_set(): print(b.e(i))
None
None

这种新晶体可以归纳为以下的R晶体。

R-晶体

对于固定重量 lambda ，水晶 R_{{lambda}} = {{ r_{{lambda}} }} 是一种单元素晶体，其晶体结构由

\[mathrm{wt}（r{lambda}）=lambda、quad eu i r}{lambda}=f{lambda}=0，quadvarepsilon_i（r{lambda}）=-langle hu i，lambdarangle，quadvarphi}=0，\]

在哪里？ {{h_i}} 是简单的科罗特。见第146页 [Joseph1995], 例如，了解更多细节。（请注意 [Joseph1995], 这个水晶用 S_lambda ）

张紧 R_{{lambda}} 用水晶 B 导致顶点的权重在 B 通过 lambda 也可以从原始图中切出一个子集 B .

警告

Sage对张量积规则使用了与Kashiwara定义相反的约定，因此在将这里的例子与一些文献进行比较时必须小心。

例如，假设 mu le lambda 在字典排序中，我们想看看 B(mu) 作为 B(lambda) . 然后 B(mu) 可以实现为 R_{{mu-lambda}}otimes B(lambda) 重量最大的 r_{{mu-lambda}} otimes u_lambda 在哪里 u_lambda 是中的最高权重向量 B(lambda) ：：

sage: La = RootSystem(['B',4]).weight_lattice().fundamental_weights()
sage: Bla = crystals.NakajimaMonomials(['B',4], La[1]+La[2])
sage: Bmu = crystals.NakajimaMonomials(['B',4], La[1])
sage: R = crystals.elementary.R(['B',4], -La[2])
sage: T = crystals.TensorProduct(R,Bla)
sage: mg = mg = T(R[0], Bla.module_generators[0])
sage: S = T.subcrystal(generators=[mg])
sage: G = T.digraph(subset=S)
sage: Bmu.digraph().is_isomorphic(G, edge_labels=True)
True
sage: view(G, tightpage=True) # optional - dot2tex graphviz, not tested (opens external window)

i -钍元素晶体

为了 i 类型的索引集的元素 X ，水晶 B_i 类型的 X 是布景吗

\[B_i={B_i（m）：minZZ}，\]

其中晶体结构由 mathrm{{wt}}bigl(b_i(m)bigr) = malpha_i 和

\[以{对齐}varphibigl（b_i（m）bigr）&=开始{cases}m&text{如果}j=i，\-infty&text{如果}jneq i，结束{案例}&varepsilon jbigl（b UI（m）bigr&{案例}m&文字{如果}j=i，\-INFY&TEM{如果}j=i，\-INFY&TEF{如果{jjj i i，-infty&如果neq一，结束{cases}\f[jb}i（m）&=begin{cases}bui（m-1）&text{if}j=i，\0&text{if}jneq i，end{cases}&e ju jb_i（m）&=begin{cases}bui（m+1）&text{if}j=i，\0&text{if}jneq i.end{cases}end{aligned}\]

见 [Kashiwara1993] 或 [Kashiwara1995] 了解更多信息。举个例子：

sage: B = crystals.elementary.Elementary("A2",1)
sage: S = B.subcrystal(max_depth=4, generators=[B(0)])
sage: sorted(s for s in S)
[-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4]
sage: G = B.digraph(subset=S)
sage: view(G, tightpage=True) # optional - dot2tex graphviz, not tested (opens external window)

警告

再次重申，Sage使用与Kashiwara定义相反的张量积规则。特别是，使用Sage的惯例，一个人 T_lambda otimes B_i cong B_i otimes T_{{s_ilambda}} 在哪里 s_i 是 i -简单的反思。