仿射根系统基础

在无限维李代数中， Kac-Moody Lie algebras 是有限维单李代数的推广。它们包括有限维单李代数作为特例，但通常是无限维的。有限维李群和李代数的表示理论中的许多概念和结果推广到Kac-Moody李代数。这包括根系、Weyl群、权格、重要表示（可积最高权表示）的参数化以及这些表示的Weyl特征公式。

在Kac-Moody李代数中， 仿射李代数 是一个重要的无穷维类，其无穷维可积最高权表示是其表示中的一个重要类。在这一节中，许多概念都适用于一般的Kac-Moody李代数。然而，我们将讨论的代码主要用于仿射情况。这与一般情况（也是重要的）完全不同，值得特别注意。

在本节中，我们将回顾科航穆迪的一些理论 [Kac] 作为我们的主要参考。我们还建议 [KMPS]. 这个两卷的集合包含了一些量的表（在第2卷中），比如字符串函数和模特征，现在可以在Sage中计算。第一卷包含仿射李代数及其表示的介绍，包括它们如何在弦理论中产生的有价值的讨论。

在本节和下一节中，我们还将解释Sage中使用这些工具进行计算的工具。我们通常将自己局限于仿射李代数的情形。

卡坦矩阵

见 [Kac] 本主题的第一章。

定义Kac-Moody李代数的基本数据是 （广义）卡坦矩阵 . 这是一个方阵 A = (a_{{ij}}) 对角线项等于2，非正非对角项 a_{{ij}} = 0 当且仅当 a_{{ji}} = 0 . 假设它是有用的 不可分解 和 可对称化 . 不可分解意味着它不能被排列成两个对角的块，而对称化意味着 DA 一类可逆对角矩阵是对称的 D .

给定一个广义Cartan矩阵就有一个向量空间 mathfrak{{h}} 包含向量 alpha_i^vee （呼叫 简单的紧身衣 )和向量 alpha_i in mathfrak{{h}}^* （呼叫 单根 这样 langle alpha_i^vee, alpha_j rangle = alpha_i^vee(alpha_j) = a_{{ij}} . 此外，还存在一个Kac-Moody李代数 mathfrak{{g}} 包含 mathfrak{{h}} 作为由 mathfrak{{h}} 和元素 e_i 和 f_i 这样的话

\[[e_i, f_i] = \delta_{ij} \alpha_i^\vee, \qquad [h, e_i] = \alpha_i(h) e_i, \qquad [h,f_i] = -\alpha_i(h) f_i.\]

这些情况并不完全符合这些条件 mathfrak{{g}} 但如果有Serre关系作为补充，我们将不需要也不需要声明。）

对角化假设的意义在于 mathfrak{{g}} 允许一个不变的对称双线性形式，因此有一个卡西米尔算子和一个良好的表示理论。

转置 A 也是一个对称不可分解的广义Cartan矩阵，所以有一个 双卡坦型 其中根和树冠互换。

在Sage中，我们可以恢复Cartan矩阵如下：

sage: RootSystem(['B',2]).cartan_matrix()
[ 2 -1]
[-2  2]
sage: RootSystem(['B',2,1]).cartan_matrix()
[ 2  0 -1]
[ 0  2 -1]
[-2 -2  2]

如果 det(A) = 0 它的零空间是一维的 mathfrak{{g}} 是一个 仿射李代数 ，如上面的第二个示例所示。

无扭仿射Kac-Moody李代数

One realization of affine Lie algebras, described in Chapter 7 of [Kac] begins with a finite-dimensional simple Lie algebra mathfrak{g}^circ, with Cartan type X_ell (['X',l] in Sage). Tensoring with the Laurent polynomial ring gives the loop Lie algebra mathfrak{g}^circ otimes CC[t,t^{-1}]. This is the Lie algebra of vector fields in mathfrak{g}^circ on the circle. Then one may make a central extension:

\[0 \rightarrow \CC \cdot K \rightarrow \mathfrak{g}' \rightarrow \mathfrak{g}^\circ \otimes \CC[t,t^{-1}] \rightarrow 0.\]

之后，可以方便地附加另一个基本元素，它作用于 mathfrak{{g}}' 作为派生词 d .如果 mathfrak{{h}}^circ Cartan子代数是 mathfrak{{g}}^circ 得到了一个Cartan子代数 mathfrak{{h}}' 属于 mathfrak{{g}}' 通过连接中心元素 K ，然后是卡坦子代数 mathfrak{{h}} 通过进一步连接派生 d .

由此得到的李代数 mathfrak{{g}} 是 无扭仿射李代数 . Cartan类型被指定为 X_ell^{{(1)}} 在Kac的符号中 ['X',l,1] 或 "Xl~" 在萨奇。这种Cartan类型的Dynkin图是 extended Dynkin-diagram 属于 mathfrak{{g}}^circ ：：

sage: CartanType("E6~").dynkin_diagram()
         O 0
         |
         |
         O 2
         |
         |
 O---O---O---O---O
 1   3   4   5   6
 E6~

从Dynkin图中，我们可以读出仿射Weyl群的生成元和关系，它是一个有生成元的Coxeter群 s_i 2号命令，如果 i 和 j 在Dynkin图中不相邻，否则受编织关系影响。我们可以推导出 mathfrak{{g}} ，通过从Dynkin图中省略一个节点得到；特别是省略“仿射节点” 0 给予 E_6 ，那就是 mathfrak{{g}}^circ .

这个 索引集 对于有限维李代数 mathfrak{{g}}^circ 是 I = {{1, 2, ldots, ell}} . 这意味着我们用 i in I . 仿射李代数的指标集 mathfrak{{g}} 添加一个索引 0 对于 仿射根 alpha_0 .

的子集 lambda in mathfrak{{h}}^* 以 lambda(alpha_i^vee) in ZZ 为了科鲁特人 alpha_i^vee 被称为 重量格架 P . 权重晶格有两个版本，这取决于我们是否正在使用 mathfrak{{g}} 或 mathfrak{{g}}' . 的权重格 mathfrak{{g}} 被称为 扩展的 权重晶格。我们可以按如下方式创建这些：

sage: RootSystem("A2~").weight_lattice()
Weight lattice of the Root system of type ['A', 2, 1]
sage: RootSystem("A2~").weight_lattice(extended=True)
Extended weight lattice of the Root system of type ['A', 2, 1]

关于扩展格，术语 格子 有点用词不当，因为 P 不是离散的；它包含 delta ，它与coroots正交。然而 P 在里面 mathfrak{{h}}^* / CCdelta 是一个真正的格子。事实上 基本权重 是向量 Lambda_i in mathfrak{{h}}^* 这样的话 Lambda_i(alpha_j^vee) = delta_{{ij}} 然后

\[P=CCdeltaoplusbigoplus{i=0}^ellZZLambda_i。\]

这个 韦尔矢量 rho 是基本权重之和。这就像经典的Weyl向量一样，在有限半单李代数理论中，它也等于正根和的一半。权格 P 包含 根晶格 Q ，它是由 alpha_0, alpha_1, ldots, alpha_ell .

通常与 mathfrak{{g}} 而不是 mathfrak{{g}}' . （因此，我们更喜欢扩展权重晶格，尽管这不是默认设置）。如果 V 是 mathfrak{{g}} 然后通常是权重空间 V_lambda ，在关于字符（权重）的分解中 mathfrak{{h}} 是有限维的；但是相应的权重空间 mathfrak{{h}}' 不会的。

有例外情况，这条规则更倾向于扩展权重格。特别地，我们可以构造非平凡不可约的有限维表示 mathfrak{{g}}' ，而这些不能被提升到 mathfrak{{g}} （尽管它们有无限维的类比）。维晶体，包括一些基尔希西洛夫晶体。因此，对于Kirillov-Reshetikhin晶体，我们更喜欢使用非扩展重量晶格。看到了吗 仿射有限晶体 .

扭曲型

也有 扭曲的 类型与Cartan类型 X_ell^{{(m)}} 或 ['X',l,m] 在哪里？ m 是的Dynkin图的自同构序 mathfrak{{g}}^circ .这些在 [Kac] 第八章。扭曲类型的其他描述可在中找到 [Macdonald2003]. 检查Kac第4章中的表Aff1、Aff2和Aff3，您将看到每个扭曲类型都是非扭曲类型的双重类型（除了 A_{{2ell}}^{{(2)}} ). 例如扭型 ['E',6,2] （或） E_6^{{(2)}} )在Aff2是双重的无捻类型 ['F',4,1] （或） F_4^{{(1)}} ）

参考上述Dynkin图 ['E',6,1] ，如果我们将节点1和节点6以及节点3和节点5折叠在一起，我们将得到 ['E',6,2] ：：

sage: CartanType(['E',6,2]).dynkin_diagram()
O---O---O=<=O---O
0   1   2   3   4
F4~*

我们必须解释为什么萨奇称之为卡坦类型 F4~* . 卡坦式 ['F',4,1] 通过将一个Dynkin节点添加到Cartan类型“F4”获得：

sage: CartanType(['F',4,1]).dynkin_diagram()
O---O---O=>=O---O
0   1   2   3   4
F4~

卡坦类型 ['E',6,2] 和 ['F',4,1] （简称 F4~ )从一个长根对应另一个短根的意义上来说是双重的。（因此 alpha_0 ， alpha_1 和 alpha_2 是 ['E',6,2] ，它们是 ['F',4,1] ）更一般地说，每个扭曲仿射类型都是唯一的未扭曲类型的对偶类型，而麦克唐纳惯例将Cartan类型称为对应的未扭曲类型的对偶：

sage: CartanType(['F',4,1]).dual() == CartanType(['E',6,2])
True

根和重量

Kac-Moody李代数 mathfrak{{g}} 三角形分解

\[mathfrak{g}=mathfrak{h}oplusmathfrak{n}}oplusmathfrak{n}_-\]

在哪里？ mathfrak{{n}}_- 和 mathfrak{{n}}_+ 局部幂零李代数。

如果 V 是一个 mathfrak{{g}} -模块那么我们通常有一个 权空间分解

\[V=bigoplus{lambdainmathfrak{h}^*}Vlambda\]

在哪里？ V_lambda 是有限的，其中 mathfrak{{h}} 根据 X,v = lambda(X) v 对于 X in mathfrak{{h}} ， v in V_lambda . 什么时候？ V_lambda neq 0 ，线性泛函 lambda 被称为 重量 . 空间 V_lambda 被称为 重量空间 它的尺寸是 多重性 重量的 lambda .

作为特例， mathfrak{{g}} 是伴随表示下的模，它有权空间分解。

根是伴随表示中的非零权重 mathfrak{{g}} 就自己而言。与有限维情况相比，如果 mathcal{{g}} 一个无限的Kac-Moody李代数有两种类型的根，叫做 real 和 想像的 . 实根具有重数1，而虚根可以具有重数 > 1 . 在仿射Kac-Moody李代数的情况下，虚根有界重数，而在非仿射情况下，虚根的重数有些神秘。

根可以分为伴随表示中的根 mathfrak{{h}} 在 mathfrak{{n}}_+ ，叫做 积极的 ，还有那些 mathfrak{{n}}_- ，叫做 ** .

返回通用模块 V 通过权空间分解，模块中的一个向量 V 它被消灭了 mathfrak{{n}}_+ 被称为 最高权向量 . 如果最大权向量的空间是一维的，如果 V 由最高权重向量生成 v 然后 CC,v = V_lambda 为了一个重量 lambda ，称为 最高重量 和 V 被称为 最高权重表示 .

如果 lambda 是否有线性函数 mathfrak{{h}} ，然后有一个 通用最高重量模块 M(lambda) 使得任何重量最高的模块 lambda 是的商 M(lambda) . 特别地 M(lambda) （也称为 Verma模 )具有唯一的不可约商 L(lambda) . 展望水晶基座，无限水晶 mathcal{{B}}(infty) 是Verma模块的一个水晶基座 M(0) .

重量 lambda in P 被称为 占主导地位 如果

\[langlelambda，alphau i^{vee}rangle=lambda（alpha_i^vee）geq 0\]

对于所有的简单的衣服 alpha_i^vee . 让 P^+ 成为主导权重的集合。

一个砝码有一个 水平 它可以定义为它与正则中心元的内积 c . 每个砝码都知道自己的级别：

sage: L = RootSystem(['E',6,1]).weight_lattice(extended=True)
sage: Lambda = L.fundamental_weights()
sage: [Lambda[i].level() for i in L.index_set()]
[1, 1, 2, 2, 3, 2, 1]

仿射根系与Weyl群

我们现在专门研究仿射Kac-Moody李代数及其根系统。仿射根系和Weyl群的基本参考是 [Kac] 第6章。

在无扭曲仿射情况下，根系统 Delta 包含根系统的副本 Delta^circ 属于 mathfrak{{g}}^circ . 真正的根包括 alpha + n delta 具有 alpha in Delta^circ 和 n in ZZ . 根是正的，如果 n = 0 和 alpha in Delta^circ_+ 或 n > 0 . 虚根包括 n delta 具有 n in ZZ 非零。看到了吗 [Kac], 命题6.3关于扭曲仿射情形下根系统的描述。

多重性 m(alpha) 是 mathfrak{{g}}_alpha . 如果 alpha 才是真正的根。对于无扭仿射李代数，虚根的重数是秩 ell 属于 mathfrak{{g}}^circ . （对于扭曲的外壳，请参见 [Kac] 推论8.3.）

在大多数情况下，我们建议使用“权重”选项创建晶格 extended=True ：：

sage: WL = RootSystem(['A',2,1]).weight_lattice(extended=True); WL
Extended weight lattice of the Root system of type ['A', 2, 1]
sage: WL.positive_roots()
Disjoint union of Family (Positive real roots of type ['A', 2, 1], Positive imaginary roots of type ['A', 2, 1])
sage: WL.simple_roots()
Finite family {0: 2*Lambda[0] - Lambda[1] - Lambda[2] + delta, 1: -Lambda[0] + 2*Lambda[1] - Lambda[2], 2: -Lambda[0] - Lambda[1] + 2*Lambda[2]}
sage: WL.weyl_group()
Weyl Group of type ['A', 2, 1] (as a matrix group acting on the extended weight lattice)
sage: WL.basic_imaginary_roots()[0]
delta

请注意，对于特殊群体，指数的顺序与 [Kac]. 这是因为Sage使用了Bourbaki的词根顺序，而Kac没有。因此，在布尔巴基（和萨奇）中 G_2 短根是 alpha_1 ：：

sage: CartanType(['G',2,1]).dynkin_diagram()
  3
O=<=O---O
1   2   0
G2~

相比之下，在科航， alpha_2 是短根。

标签和Coxeter编号

某些常数 a_i 标记顶点 i = 0, ldots, ell 在表Aff1、Aff2和Aff3中 [Kac] 第四章。他们被称为 标签 Kac和 标志 在里面 [KMPS]. 它们在理论上起着重要作用。在Sage中，它们的可用性如下：

sage: CartanType(['B',5,1]).a()
Finite family {0: 1, 1: 1, 2: 2, 3: 2, 4: 2, 5: 2}

列向量 a 这些条目跨越了 A ：：

sage: RS = RootSystem(['E',6,2]); RS
Root system of type ['F', 4, 1]^*
sage: A=RS.cartan_matrix(); A
[ 2 -1  0  0  0]
[-1  2 -1  0  0]
[ 0 -1  2 -2  0]
[ 0  0 -1  2 -1]
[ 0  0  0 -1  2]
sage: ann = Matrix([[v] for v in RS.cartan_type().a()]); ann
[1]
[2]
[3]
[2]
[1]
sage: A*ann
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]

空根 delta = sum_{{iin I}} a_i alpha_i ：：

sage: WL = RootSystem('C3~').weight_lattice(extended=True); WL
Extended weight lattice of the Root system of type ['C', 3, 1]
sage: sum(WL.cartan_type().a()[i]*WL.simple_root(i) for i in WL.cartan_type().index_set())
delta

数字 h = sum_{{iin I}} a_i 被称为 科克斯特数 . 在无扭曲的情况下，它是有限Weyl群的Coxeter元的阶 mathfrak{{g}}^circ . 这个 双科克斯特数 h^vee 是双根系统的Coxeter数。它经常出现在表象理论中。Coxeter数和dual Coxeter数可以计算如下：

sage: sum(CartanType(['F',4,1]).a()) # Coxeter number
12
sage: sum(CartanType(['F',4,1]).dual().a()) # Dual Coxeter number
9

Weyl集团

The ambient space of the root system comes with an (indefinite) inner product. The real roots have nonzero length but the imaginary roots are isotropic. If alpha is a real root we may define a reflection r_alpha in the hyperplane orthogonal to alpha. In particular the ell+1 reflections s_i with respect to the simple positive roots alpha_i (i = 0, 1, 2, ldots, ell) generate a Coxeter group. This is the Weyl group W.

说明如何使用Sage计算 W 在权重格上：

sage: L = RootSystem("A2~").weight_lattice(extended=True)
sage: Lambda = L.fundamental_weights()
sage: delta = L.null_root()
sage: W = L.weyl_group(prefix="s")
sage: s0,s1,s2 = W.simple_reflections()
sage: [(s0*s1*s2*s1).action(x) - x for x in Lambda]
[-2*Lambda[0] + Lambda[1] + Lambda[2] - delta,
 -2*Lambda[0] + Lambda[1] + Lambda[2] - 2*delta,
 -2*Lambda[0] + Lambda[1] + Lambda[2] - 2*delta]
sage: [s0.action(x) for x in Lambda]
[-Lambda[0] + Lambda[1] + Lambda[2] - delta, Lambda[1], Lambda[2]]
sage: s0.action(delta)
delta

扩张仿射Weyl群

小组 W^circ 生成的 s_1, ldots, s_ell 是一个可与有限维单李代数的Weyl群一致的有限Coxeter群 mathfrak{{g}}^circ .

几何学上， W 可以解释为有限Weyl群的半直积 W^circ 通过一组不连续的翻译 Q^vee 与coroot晶格同构。更大的 扩展仿射Weyl群 是的半直积 W^circ 在牛仔格子旁边 P^vee .如果 P^vee 严格地大于 Q^vee 这不是一个科克斯特集团，但在许多问题中自然出现。它可以在Sage中构造如下：

sage: E = ExtendedAffineWeylGroup(["A",2,1]); E
Extended affine Weyl group of type ['A', 2, 1]

请参阅中的文档 extended_affine_weyl_group 如果你需要这个。