离散估值与离散伪估值¶
高级接口¶
对于一些Sage环，如p-adic环和函数域，可以方便地定义赋值。
p-adic估值¶
如果数字域唯一地扩展了有理素数的赋值，那么很容易指定它们：
sage: v = QQ.valuation(2)
sage: v(1024)
10
它们被正规化，使得有理素数的估值为1:：
sage: K.<a> = NumberField(x^2 + x + 1)
sage: v = K.valuation(2)
sage: v(1024)
10
如果在一个质数上有多个估值，可以通过从一个较小的环上扩展一个估值来获得：
sage: K.<a> = NumberField(x^2 + x + 1)
sage: K.valuation(7)
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: The valuation Gauss valuation induced by 7-adic valuation does not approximate a unique extension of 7-adic valuation with respect to x^2 + x + 1
sage: w,ww = QQ.valuation(7).extensions(K)
sage: w(a + 3), ww(a + 3)
(1, 0)
sage: w(a + 5), ww(a + 5)
(0, 1)
函数域的赋值¶
同样，可以在函数字段上定义赋值：
sage: K.<x> = FunctionField(QQ)
sage: v = K.valuation(x)
sage: v(1/x)
-1
sage: v = K.valuation(1/x)
sage: v(1/x)
1
在函数域的扩展上，当扩展是唯一的时，可以通过在底层有理函数域上提供一个素数来创建赋值：
sage: K.<x> = FunctionField(QQ)
sage: R.<y> = K[]
sage: L.<y> = K.extension(y^2 - x)
sage: v = L.valuation(x)
sage: v(x)
1
也可以从较小的函数字段扩展赋值：
sage: K.<x> = FunctionField(QQ)
sage: v = K.valuation(x - 4)
sage: R.<y> = K[]
sage: L.<y> = K.extension(y^2 - x)
sage: v.extensions(L)
[[ (x - 4)-adic valuation, v(y + 2) = 1 ]-adic valuation,
[ (x - 4)-adic valuation, v(y - 2) = 1 ]-adic valuation]
低电平接口¶
Mac Lane估值¶
在内部，以上所有内容都由中描述的算法支持 [Mac1936I] 和 [Mac1936II]. 让我们考虑 K.valuation(x - 4) 去野外 L 以概述这是如何在内部工作的。
首先，对 K 是由对 QQ[x] . 为了构建这个估值，我们从琐碎的估值开始 \Q 并考虑其诱导高斯估值 \Q[x] 也就是说，将系数赋值的最小值赋给多项式的赋值：
sage: R.<x> = QQ[]
sage: v = GaussValuation(R, valuations.TrivialValuation(QQ))
高斯估值可以通过指定 x - 4 估价1:：
sage: v = v.augmentation(x - 4, 1); v
[ Gauss valuation induced by Trivial valuation on Rational Field, v(x - 4) = 1 ]
然后，该值将唯一地扩展到分数字段：
sage: K.<x> = FunctionField(QQ)
sage: v = v.extension(K); v
(x - 4)-adic valuation
在函数域上，我们重复上述过程，即，我们定义由它引起的高斯估值，并将其扩大，以近似于 L ：：
sage: R.<y> = K[]
sage: w = GaussValuation(R, v)
sage: w = w.augmentation(y - 2, 1); w
[ Gauss valuation induced by (x - 4)-adic valuation, v(y - 2) = 1 ]
sage: L.<y> = K.extension(y^2 - x)
sage: ww = w.extension(L); ww
[ (x - 4)-adic valuation, v(y - 2) = 1 ]-adic valuation
限制估价¶
在前面的例子中，最终估价 ww 不仅仅是通过评估 w 在环上 K[y] ：：
sage: ww(y^2 - x)
+Infinity
sage: y = R.gen()
sage: w(y^2 - x)
1
取而代之的是 ww 是由一个极限给出的，也就是说，一个无限的增值序列：
sage: ww._base_valuation
[ Gauss valuation induced by (x - 4)-adic valuation, v(y - 2) = 1 , … ]
这个无限序列的项是按需计算的：
sage: ww._base_valuation._approximation
[ Gauss valuation induced by (x - 4)-adic valuation, v(y - 2) = 1 ]
sage: ww(y - 1/4*x - 1)
2
sage: ww._base_valuation._approximation
[ Gauss valuation induced by (x - 4)-adic valuation, v(y + 1/64*x^2 - 3/8*x - 3/4) = 3 ]
非经典估值¶
使用低层接口，我们不局限于对对应于相应投影曲线上的点的函数场的经典赋值。相反，我们可以从常数场的非平凡估值开始：
sage: v = QQ.valuation(2)
sage: R.<x> = QQ[]
sage: w = GaussValuation(R, v) # v is not trivial
sage: K.<x> = FunctionField(QQ)
sage: w = w.extension(K)
sage: w.residue_field()
Rational function field in x over Finite Field of size 2
Mac车道近似值¶
这个软件包的主要工具是Mac Lane的一个算法，从多项式环上的高斯赋值和一元无平方多项式G开始，计算近似于将G发送到无穷大的极限赋值：
sage: v = QQ.valuation(2)
sage: R.<x> = QQ[]
sage: f = x^5 + 3*x^4 + 5*x^3 + 8*x^2 + 6*x + 12
sage: v.mac_lane_approximants(f) # random output (order may vary)
[[ Gauss valuation induced by 2-adic valuation, v(x^2 + x + 1) = 3 ],
[ Gauss valuation induced by 2-adic valuation, v(x) = 1/2 ],
[ Gauss valuation induced by 2-adic valuation, v(x) = 1 ]]
从这些逼近式可以看出相应扩张的剩余度和分枝指数。近似值可以被推到任意精度，对应于 f ：：
sage: v.mac_lane_approximants(f, required_precision=10) # random output
[[ Gauss valuation induced by 2-adic valuation, v(x^2 + 193*x + 13/21) = 10 ],
[ Gauss valuation induced by 2-adic valuation, v(x + 86) = 10 ],
[ Gauss valuation induced by 2-adic valuation, v(x) = 1/2, v(x^2 + 36/11*x + 2/17) = 11 ]]
工具书类¶
该理论最初在 [Mac1936I] 和 [Mac1936II]. 摘要和一些算法细节也可以在第4章中找到 [Rüt2014].