混沌的分析方法

虽然混沌系统复杂，但是经过科技工作者的不懈努力和探索，已经出现了许多成熟有效的分析非线性系统特性的方法，其中包括吸引子、分岔图、Lyapunov指数、功率谱、熵和分维等。

1、吸引子方法

混沌运动的重要特性突出表现在相空间轨线的收缩区域不同于通常的运动规律。在统计物理中，保守系统在相空间运动过程中是始终保持相体 积不变的，而对于耗散系统，一般来说，其体积要逐渐收缩，有的收缩到一点或一个闭曲线上，有的收缩到二维或二维以上的环面上，称这些除掉暂态后相空间所趋向的有限空间 为吸引子。而混沌吸引子与普通吸引子不同，区别在于： （1）从整体来说，系统是稳定的，吸引子外的一切运动最后都要收缩到吸引子内；但从局部来说，吸引子内的运动是不稳定的，相邻运动轨道相互排斥且按指数规律分离。（2）混沌态的吸引子不一定填满整个吸引域，而是具有一些空隙或空间。（3）与不动点、极限环等不同，运动轨道的不断分开和折叠是混沌吸引子上的运动依赖于初始条件，初始条件不同，同一吸引子上的轨道截然不同。

2、分岔图法

分岔图是表示一个动力系统随某一参数变化而变化的二维图形，主要计算对应于某一参数m的不动点x的值（离散系统）或振荡的最大值x（对连续系统而言）。为得到稳定的x值，在利 用计算机进行迭代时，必须去掉一定量的暂态，以消除初始值的影响。在坐标上，以参数m为横轴，x做纵轴画出的图即为分岔图。 随着参数m的逐渐变化，依次出现了倍周期 分岔，当m取某些值时，x取值可能随机变化，这时出现了混沌。在混沌区左右通常会出现倍周期分岔现象，在混沌区内还存在不是混沌的周期窗口，这也是混沌的典型特征之一 。

3、李亚普诺夫（Lyapunov）指数

为了定量地描述离散映像中相邻点相互分离的快慢或奇怪吸引子轨道分离的快慢，人们引入Lyapunov指数。当Lyap unov指数小于零时，表示系统处于不动点或周期状态；若Lyapunov指数指数大于零，表示系统处于混沌状态。

4、功率谱密度

由于混沌信号同时包含随机信号和 有序信号，频谱不能完全描述其性质，因此人们常用功率谱密度来描述动力学系统的性质。对于混沌信号，其功率谱密度具有伪随机噪声的特点。除了这几种以外，研究和判断系统动力学特性的方法还有许多，如分维、熵、庞卡来截面等，它们特性各异，对于不同的系统，可以选择不同的判定方法。