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7. 数学空间的几何对象

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7.2. 欧氏空间


7.1. 距离空间(度量空间)

距离在描述空间位置之间的关系时是一个十分重要的概念。实际上GIS中距离的种类有多种,与之对应的抽象数学理论是本节的主要内容。

定义7.1   设X为任一非空集合,d: X×X→R为一函数,使得对于X的任何点x,y,z满足下列性质:

M1:d(x, y)≥0

M2:d(x, y)=0 : image0  (x=y)

M3:d(x, y)=d(y, x) image1

M4:d(x, y)≤d(x, z)+ d(z, y)

则(X, d)称为以d为距离的距离空间。若x, y∈X,则实数d(x, y)称为从点x到点y的距离。上面的性质中,M3称为对称性,M4称为三角不等式。

例: 对于可数无限维实数空间R image2 , 定义距离函数d: 对空间中的任意两点p(x1, x2, …)和q(y1, y2, …),  d(p, q)= image3 , 这里 image4image5 均收敛。

可以证明d(p, q)一定收敛,(R image6 ,d)满足距离空间定义。(R image7 ,d)称为希尔伯特(Hilbert)空间。

现在我们考察几种GIS中常用的距离及其与距离空间的关系。

最短线距离:沿地球球面从一个城市到另一个城市的最短距离。

球面曼哈顿距离:地球上两城市经度差与纬度差之和。

旅行时间:城市间旅行(假定沿公路线旅行)所需的最短时间。

考察上述距离定义,M1和M2显然为这三种距离所定义。最短线距离和曼哈顿距离亦满足距离空间的对称性。但旅行时间则不一定。若考虑路面状况、地理特性(坡度等)、交通规则(单行线)等,则对称性不能满足。

三角不等式性质亦为最短线距离所满足。对于旅行时间,三角不等式亦不一定满足。图7-1所示,城市a和b及b和c间有高速公路,而a与c之间只有低等级公路,则就旅行时间而言,T(a, b)+T(b, c)≥T(a, c)不一定成立。

image8

图7-1  旅行时间与三角不等式

由上面的讨论,我们知道球面上的城市集合与最短线距离,以及曼哈顿距离均构成距离空间,而与旅行时间则不能构成距离空间。这说明

传统的距离空间(亦称度量空间)不能完全适应GIS

的需要。特别需要说明的是,旅行时间这类的距离在

GIS应用中有很重要的意义。例如,图7-2所示是

地震后的救灾问题。救灾中心M需要在最短时间内赶

往灾区A、B、C、D、E,此时通常意义下的距离已不

重要,对称性、三角不等式难以满足,时间是最重要的。

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图7-2  灾区与急救中心的位置

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