3.3. 地图投影的应用¶
3.3.1. 地图投影的选择¶
地图投影是将地球椭球面上的地理信息，科学、准确地转绘到平面上的控制骨架和定位依据。因此，在制作地图过程中，新编地图投影的选择是否恰当，将直接影响地图的精度和实用价值。由于投影的种类日益增多，要恰当地选择投影，必须顾及以下几个因素：
1.制图区域的地理位置，形状和范围
制图区域的地理位置决定了所选择投影的种类。例如，制图区域在极地位置，可选择正轴方位投影；制图区域在赤道附近，应考虑选择横轴方位投影或正轴圆柱投影；若制图区域在中纬地区，则应考虑选择正轴圆锥投影或斜轴方位投影。
根据制图区域的形状选择投影时，应遵循一条基本原则：投影的无变形点和线应位于制图区域的中心位置，等变形线尽量与制图区域的形状一致，从而保证制图区域的变形分布均匀。例如，同是中纬地区，如果制图区域呈现沿纬线方向延伸的长形区域，则应选择单标准纬线正轴圆锥投影；如果制图区域呈现沿经线方向略窄，沿纬线略宽的长形区域，则应选择双标准纬线正轴圆锥投影；如果制图区域出现南北、东西方向差别不大的圆形区域，则应考虑选择斜轴方位投影。同是在低纬赤道附近，如果是沿赤道方向呈东西延伸的长条形区域，则应选择正轴圆柱投影；如果是近似圆形的区域，则选择方位投影为宜。
制图区域的范围大小也影响地图投影的选择。当制图区域范围不太大时，无论选择什么投影，制图区域内各处变形差异都不会太大。曾有人以我国最大的省区新疆维吾尔自治区为例，用等角、等积、等距三种正轴圆锥投影作比较，其计算结果表明，不同纬度的长度变形差别仅在0.0001～0.0003mm之间。而对于制图区域广阔的大国地图、大洲地图、半球图、世界图等，则需要慎重地选择投影。
2. 地图的内容
地图所表现的主题和内容是什么，关系到选择什么投影。如交通图、航海图、航空图、军用等方面的地图，要求方向正确，小区域的形状能与实地相似，应选择等角投影。而自然地图和社会经济地图中的分布图、类型图、区划图等则要求保持面积对比关系的正确，因此应选用等积投影。再如世界时区图，为了使时区的划分表现的清楚，只能选择经线投影成直线的正轴圆柱投影；作为中小学的教学用图，由于学生的年龄和知识的局限性，最好选择各种变形都不太大的任意投影，例如较常见的等距离投影，就能给学生一种接近于实际的地理概念。
3. 出版方式
地图在出版方式上，有单幅图、系列图和地图集之分。单幅图的投影选择比较简单，只考虑上述几个原则即可；系列图虽然表现内容较多，但由于性质相近，也应该选择同一变形性质的投影，以便于相互比较与参证，而地图集，情况就比较复杂了。由于图集是一个统一协调的有机整体，故投影选择又不能过多，应尽量采用同一系统的投影，再根据个别内容的特殊要求，在变形性质方面予以适当变化。
此外，在选择地图投影时，应使所选择的投影尽可能与编图资料所采用的经纬线投影形状相似，以便使工作简化。
3.3.2. 中国GIS中地图投影的应用¶
我国的各种地理信息系统中都采用了与我国基本比例尺地形图系列一致的地图投影系统，这就是大于等于1∶50万时采用高斯—克吕格投影，1∶100万采用正轴等角割圆锥投影。这种坐标系统的配置与设计是因为：
（1）我国基本比例尺地形图(1∶5千，1∶1万，1∶2.5万，1∶5万，1∶10万，1∶25万，1∶50万和1∶100万)中大于等于1∶50万的图均采用高斯—克吕格投影为地理基础；
（2）我国1∶100万地形图采用正轴等角割圆锥投影，其分幅与国际百万分之一所采用的分幅一致；
（3）我国大部分省区图多采用正轴等角割圆锥投影和属于同一投影系统的正轴等面积割圆锥投影；
（4）正轴等角圆锥投影中，地球表面上两点间的最短距离(即大圆航线)表现为近于直线，这有利于地理信息系统中空间分析和信息量度的正确实施。
因此，我国地理信息系统中采用高斯投影和正轴等角圆锥投影既适合我国的国情，也符合国际上通行的标准，下面对这两种投影分别予以介绍。
１．高斯—克吕格投影
我国现行的大于及等于1∶50万比例尺的各种地形图都采用高斯—克吕格投影，简称高斯投影。
（1）高斯投影的概念
高斯投影从几何概念上分析，它是一种等角横切椭圆柱投影。如图3-9所示，我们把地球看成是地球椭球体，假想用一个椭圆筒横套在其上，使筒与地球椭球体的某一经线相切，椭圆筒的中心轴位于赤道上，按等角条件将地球表面投影到椭圆筒上，然后将椭圆筒展开成平面。
图3-9 高斯—克吕格投影
（2）高斯投影的基本条件(性质)
① 中央经线(椭圆筒和地球椭球体的切线)和赤道投影成垂直相交的直线；
- （公式3-7）
② 投影后没有角度变形(即经纬线投影后仍正交)；
③ 中央经线上没有长度变形，等变形线为平行于中央经线的直线。
根据上述三个条件，即可导出高斯投影的直角坐标基本公式：
（公式3-8）
式中：
X，Y——平面直角坐标系的纵、横坐标
j、λ——椭球面上地理坐标系的经纬度(分别自赤道和投影带中央经线起算)；
s——由赤道至纬度的子午线弧长；
N——纬度处的卯酉圈曲率半径(可据纬度由制图用表查取)；
η——η2=e′2cos2，其中e′2= (a:sup:2－b2) / b2，为地球的第二偏心率，a，b分别为地球椭球体的长短轴。
（3） 投影的变形分析与投影带的划分
（公式3-9）
+…
高斯投影没有角度变形，面积变形是通过长度变形来表达的。其长度变形的基本公式为：
由公式可知长度变形的规律是：
① 中央经线上没有长度变形，即λ=0时，μ=1；
② 在同一条纬线上，离中央经线越远变形越大，即λ增大，μ也增大；
③ 在同一条经线上，纬度越低，变形越大，即φ越小，μ越大。
表3-2为高斯投影6°带内长度变形值。表3-2说明，投影变形最大值在赤道和投影边缘经线的交点上。当经差为±3°时，长度变形为1.38‰，3°带范围内最大长度变形为0.38‰。
为了控制投影变形不致过大，保证地形图精度，高斯投影采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度。我国规定1∶2.5万～1∶50万地形图均采用经差6°分带，大于等于1∶1万比例尺地形图采用经差3°分带。
①6°分带法：从格林尼治零度经线起，自东半球向西半球，每经差6°分为一个投影带，如图3-10所示。
图3-10 高斯投影分带示意图
东半球的30个投影带，是从0°起算往东划分，即东经0°～6°，6°～12°，…，174°～180°，用阿拉伯数字1～30予以标记。各投影带的中央经线位置，可用下式计算(式中n为投影带带号)：
L0=(6n-3)° （公式3-10）
西半球的30个投影带，是从180°起算，回到0°，即，西经180°～174°，174°～ 168°，……，6°～0°；各带的带号为31～60，各投影带中央经线的位置，可用下式计算(式中n为投影带带号)：
L0=(6n-3)°-360° （公式3-11）
我国领土位于东经72°～136°之间，共包括11个投影带，即13～23带，各带的中央经线分别为75°，81°，……，135°，如图3-10。
②3°分带法：从东经1°30′算起，每3°为一带，将全球划分为120个投影带，即东经1°30′～4°30′，4°30′～7°30′，……，东经178°30′至西经178°30′，……，西经1°30′至东经1°30′。其中央经线的位置分别为3°，6°，9°，……，180°，西经177°，……，3°，0°。这样分带的目的在于使6°带的中央经线均为3°带的中央经线。即3°带中有半数的中央经线同6°带重合，在从3°带转换成6°带时，可以直接转用，不需任何计算。
（4）高斯平面直角坐标网
高斯投影平面直角网，它是由高斯投影每一个投影带构成一个单独的坐标系。投影带的中央经线投影后的直线为x轴(纵轴)，赤道投影后的直线为y轴(横轴)，它们的交点为原点。我国位于北半球，全部x值都是正值，在每个投影带中则有一半的y值为负。为了使计算中避免横坐标y值出现负值，规定每带的中央经线西移500km。由于高斯投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以，各带的坐标完全相同。为了指出投影带是哪一带，规定要在横坐标(通用值)之前加上带号即可。因此，计算一个带的坐标值，制成表格，就可供查取各投影带的坐标时使用(有关地形图图廓点坐标值可从《高斯—克吕格坐标表》中查取)。
图3-11 高斯投影坐标系
如图3-11所示，A、B两点原来的横坐标分别为：
y‑A=245863.7m
yB=-168474.8m
纵坐标轴西移500公里后，其横坐标分别为：
yA′=745863.7m
yB′=331525.2m
加上带号，如A、B两点位于第20带，其通用坐标为：
yA″=20745863.7m
yB″=20331525.2m
２．正轴等角圆锥投影
（1） 定义
假想一个圆锥其轴与地球椭球旋转轴重合地套在椭球上，按等角的条件把地球椭球上经纬线投影到圆锥面上，然后沿一条母线(经线)将圆锥面切开展成平面，这就是正轴等角圆锥投影。这种投影最适合于中纬度地区，为世界上许多国家制作地图所使用。
我国新编的1∶100万地图采用双标准纬线正等轴角圆锥投影(见图3-12)，即圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈，称之为标准纬线(φ1，φ2)。采用双标准纬线的相割比采用单标准纬线的相切，其投影变形小而均匀。
为了提高投影精度，我国1∶100万地图的投影是按百万分之一地图的纬度划分原则(从0°开始，纬差4°一幅)，从南到北共分成15个投影带，每个投影带单独计算坐标，建立数学基础。
图3－12 正等角割圆锥投影及其经纬线图形
两条标准纬线近似地选在下式所示的位置，见图3-13。
φ1≈φs+35′
φ2≈φN－35′
处于同一投影带中的各图幅的坐标成果完全相同，因此，每投影带只需计算其中一幅图(纬差4°，经差6°)的投影成果即可。
(2) 投影变形
正等角割圆锥投影变形的分布规律是：
① 角度没有变形，即投影前后对应的微分面积保持图形相似，故亦可称为正形投影；
② 等变形线和纬线一致，同一条纬线上的变形处处相等；
③ 两条标准纬线上没有任何变形；
④在同一经线上，两标准纬线外侧为正变形(长度比大于1)，而两标准纬线之间为负变形(长度比小于1)。因此，变形比较均匀，绝对值也比较小；
图3-14 投影变形规律
图3-13 双标准纬线
⑤ 同一纬线上等经差的线段长度相等，两条纬线间的经纬线长度处处相等。
图3-14是用微分圆表示的双标准纬线正等角圆锥投影的变形分布情况。由于采用分带投影，每带纬差较小，我国范围内的1∶100万地图变形值几乎相等，其长度变形最大不超过±0.03% (南北图廓、中间纬线上)，面积变形约为长度变形的2倍。
(3) 成果表的应用
这种投影的直角坐标，是以图幅的中央经线作x轴，中央经线与最南边的纬线(φs)的交点作原点，过此点的切线作y轴，构成直角坐标系来计算的。因此，按投影公式，以经纬线交点的纬度和该点对中央经线的经差，即可算出其直角坐标值。而且由于经纬网图形是以中央经线为轴左右对称的。因此，只要计算右方经差为1°、2°、3°的经纬线交点的坐标，左方的经纬线交点的坐标，只需y值为负即可，见图3-15所示。一幅图的直角坐标成果，可以在同一纬度带中通用。现已将投影坐标数据列成表格，以供方便查用。