反双曲线正切及其图像

反双曲线正切及其图像


发布日期: 2016-10-24 更新日期: 2017-01-12 编辑:xuzhiping 浏览次数: 8898

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摘要: 反双曲函数 反双曲函数是双曲函数的反函数。记为(arsinh、arcosh、artanh等等)。与反三角函数不同之处是它的前缀是ar意即area(面积),而不是arc(弧)。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的,而圆角是以...

反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数。记为(arsinh、arcosh、artanh等等)。与反三角函数不同之处是它的前缀是ar意即area(面积),而不是arc(弧)。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的,而圆角是以弧长与半径的比值定。

反双曲线正切

反双曲正切函数记作y=artanhx。

双曲函数y=sinhx的定义是y=

\(tanhx =\ frac{e^x-e^(-x)}{e^x+e(-x)}\)

那么,取它的反函数,最终得到反双曲正切函数的解析式是y=

\(artanhx= 1/2ln \frac{1+x}{1-x}\)

反双曲正切函数的定义域为(-1,1) 。它是奇函数。在区间 (-1,1)内单调增加。反双曲正切函数的图像如图所示。反双曲正切函数的导数是

\((artanh)' = \frac{1}{1-x^2}\)

。不定积分是

\( \int artanhxdx = xartanhx+\frac{ln|1-x^2|}{2}\)

(不包含不定积分特有的常数C)。

需要注意,在反双曲正切的不定积分中,有条件|x|<|1| ,此不定积分才能成立。

反双曲正切函数的幂级数展开式是[4] :

\(artanhx= x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}\)

+……

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