7.1. 距离空间（度量空间）

距离在描述空间位置之间的关系时是一个十分重要的概念。实际上GIS中距离的种类有多种，与之对应的抽象数学理论是本节的主要内容。

定义7.1   设X为任一非空集合，d: X×X→R为一函数，使得对于X的任何点x，y，z满足下列性质：

M₁：d(x， y)≥0

M₂：d(x， y)=0 :  (x=y)

M₃：d(x， y)=d(y， x)

M₄：d(x， y)≤d(x， z)+ d(z， y)

则(X， d)称为以d为距离的距离空间。若x， y∈X，则实数d(x， y)称为从点x到点y的距离。上面的性质中，M₃称为对称性，M₄称为三角不等式。

例： 对于可数无限维实数空间R ， 定义距离函数d: 对空间中的任意两点p(x₁， x₂， …)和q(y₁， y₂， …)，  d(p， q)= ， 这里 和 均收敛。

可以证明d(p， q)一定收敛，(R ，d)满足距离空间定义。(R ，d)称为希尔伯特(Hilbert)空间。

现在我们考察几种GIS中常用的距离及其与距离空间的关系。

最短线距离：沿地球球面从一个城市到另一个城市的最短距离。

球面曼哈顿距离：地球上两城市经度差与纬度差之和。

旅行时间：城市间旅行（假定沿公路线旅行）所需的最短时间。

考察上述距离定义，M₁和M₂显然为这三种距离所定义。最短线距离和曼哈顿距离亦满足距离空间的对称性。但旅行时间则不一定。若考虑路面状况、地理特性（坡度等）、交通规则（单行线）等，则对称性不能满足。

三角不等式性质亦为最短线距离所满足。对于旅行时间，三角不等式亦不一定满足。图7-1所示，城市a和b及b和c间有高速公路，而a与c之间只有低等级公路，则就旅行时间而言，T(a， b)+T(b， c)≥T(a， c)不一定成立。

图7-1  旅行时间与三角不等式

由上面的讨论，我们知道球面上的城市集合与最短线距离，以及曼哈顿距离均构成距离空间，而与旅行时间则不能构成距离空间。这说明

传统的距离空间（亦称度量空间）不能完全适应GIS

的需要。特别需要说明的是，旅行时间这类的距离在

GIS应用中有很重要的意义。例如，图7-2所示是

地震后的救灾问题。救灾中心M需要在最短时间内赶

往灾区A、B、C、D、E，此时通常意义下的距离已不

重要，对称性、三角不等式难以满足，时间是最重要的。

图7-2  灾区与急救中心的位置